Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D$,

suy ra $BCID$ là hình bình hành nên $BD//CI$

Do đó $d\left( {BD;CD'} \right) = d\left( {BD;\left( {CD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right).$

Kẻ $DE \bot CI$ tại $E$, kẻ $DK \bot D'E\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CI \bot DE\\CI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {DD'E} \right) \Rightarrow CI \bot DK\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow DK \bot \left( {CD'I} \right)$

$\Rightarrow d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right) = DK.$

Xét tam giác $IAC$, ta có $DE // AC$ (do cùng vuông góc với $CI$) và có $D$ là trung điểm của $AI$ nên suy ra $DE$ là đường trung bình của tam giác $ACI$. Suy ra $DE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a.$

Tam giác vuông $D'DE$, có $DK = \dfrac{{D'D.DE}}{{\sqrt {D'{D^2} + D{E^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$

Gọi I, J, K, P lần lượt là trung điểm của AD, AC, BC, BD.

Khi đó, AB // IP // JK, CD // IJ // KP

$\Rightarrow$ $\left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \left( {\widehat {IP;KP}} \right)$

Ta có: $KP = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{5}{2}$, $IP = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}$

$A{K^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{25 + 34}}{2} - \dfrac{{41}}{4} = \dfrac{{77}}{4} = D{K^2}$

Tam giác $AKD$ cân tại K, $KI$ là trung tuyến $\Rightarrow KI \bot AD \Rightarrow I{K^2} = A{K^2} - A{I^2} = \dfrac{{77}}{4} - \dfrac{{41}}{4} = 9$

$\cos \widehat {IPK} = \dfrac{{I{P^2} + K{P^2} - I{K^2}}}{{2.IP.KP}} = \dfrac{{\dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{25}}{4} - 9}}{{2.\dfrac{5}{2}.\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{7}{{25}} > 0 \Rightarrow \widehat {IPK} < {90^0}$

$\Rightarrow \left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \left( {\widehat {IP;KP}} \right) = \widehat {IPK} \Rightarrow \sin \left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \sin \widehat {IPK} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{7}{{25}}} \right)}^2}}  = \dfrac{{24}}{{25}}$.

Bước 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 

$\Delta BCD,\Delta ACD$ đều nên:

$\left. \begin{array}{l}AN \bot CD\\BN \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABN} \right) \bot CD \Rightarrow MN \bot CD$

Tương tự ta có $MN \bot AB$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB, CD là độ dài của MN.

Bước 2: Tính MN.

$\Delta ACD$ đều cạnh 2a; AN là đường cao.

$\to AN = AC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$

$AM = \dfrac{1}{2}AB = a$

$\Delta AMN$ vuông tại M ($MN \bot AB$) nên:

$MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}$ $= \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2$

Bước 1:

Ta có $AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset BC'$ $\Rightarrow d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)$.

Bước 2:

Trong $\left( {ABC} \right)$ kẻ $AK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)$, trong $\left( {AHK} \right)$ kẻ $AI \bot HK\,\,\left( {I \in HK} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \bot AI\\\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\end{array}$

$\Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AI = d\left( {AA';BC'} \right)$.

Bước 3:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $AK = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác $A'B'C'$ có $B'C' = \sqrt {A'B{'^2} + A'C{'^2}}  = 2a$ $\Rightarrow A'H = \dfrac{1}{2}B'C' = a$.

$\Rightarrow AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AHK$ ta có $AI = \dfrac{{AH.AK}}{{\sqrt {A{H^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

Vậy $d\left( {AA';BC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

Vậy $m=15$.