Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D$,

suy ra $BCID$ là hình bình hành nên $BD//CI$

Do đó \(d\left( {BD;CD'} \right) = d\left( {BD;\left( {CD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right).\)

Kẻ \(DE \bot CI\) tại \(E\), kẻ $DK \bot D'E\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CI \bot DE\\CI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {DD'E} \right) \Rightarrow CI \bot DK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DK \bot \left( {CD'I} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right) = DK.\)

Xét tam giác $IAC$, ta có $DE // AC$ (do cùng vuông góc với $CI$) và có $D$ là trung điểm của $AI$ nên suy ra $DE$ là đường trung bình của tam giác $ACI$. Suy ra \(DE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a.\)

Tam giác vuông $D'DE$, có $DK = \dfrac{{D'D.DE}}{{\sqrt {D'{D^2} + D{E^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$

Gọi I, J, K, P lần lượt là trung điểm của AD, AC, BC, BD.

Khi đó, AB // IP // JK, CD // IJ // KP

\( \Rightarrow \) \(\left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \left( {\widehat {IP;KP}} \right)\)

Ta có: \(KP = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{5}{2}\), \(IP = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{5}{2}\)

\(A{K^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{25 + 34}}{2} - \dfrac{{41}}{4} = \dfrac{{77}}{4} = D{K^2}\)

Tam giác \(AKD\) cân tại K, \(KI\) là trung tuyến \( \Rightarrow KI \bot AD \Rightarrow I{K^2} = A{K^2} - A{I^2} = \dfrac{{77}}{4} - \dfrac{{41}}{4} = 9\)

\(\cos \widehat {IPK} = \dfrac{{I{P^2} + K{P^2} - I{K^2}}}{{2.IP.KP}} = \dfrac{{\dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{25}}{4} - 9}}{{2.\dfrac{5}{2}.\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{7}{{25}} > 0 \Rightarrow \widehat {IPK} < {90^0}\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \left( {\widehat {IP;KP}} \right) = \widehat {IPK} \Rightarrow \sin \left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \sin \widehat {IPK} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{7}{{25}}} \right)}^2}}  = \dfrac{{24}}{{25}}\).

Bước 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 

\(\Delta BCD,\Delta ACD\) đều nên:

\(\left. \begin{array}{l}AN \bot CD\\BN \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABN} \right) \bot CD \Rightarrow MN \bot CD\)

Tương tự ta có \(MN \bot AB\)

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB, CD là độ dài của MN.

Bước 2: Tính MN.

\(\Delta ACD\) đều cạnh 2a; AN là đường cao.

\( \to AN = AC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

\(AM = \dfrac{1}{2}AB = a\)

\(\Delta AMN\) vuông tại M (\(MN \bot AB\)) nên:

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} \) \( = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Bước 1:

Ta có \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset BC'\) \( \Rightarrow d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).

Bước 2:

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \(AI \bot HK\,\,\left( {I \in HK} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \bot AI\\\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AI = d\left( {AA';BC'} \right)\).

Bước 3:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AK = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(A'B'C'\) có \(B'C' = \sqrt {A'B{'^2} + A'C{'^2}}  = 2a\) \( \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{2}B'C' = a\).

\( \Rightarrow AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHK\) ta có \(AI = \dfrac{{AH.AK}}{{\sqrt {A{H^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {AA';BC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy $m=15$.