Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\),…, tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\)…. Gọi \(P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\) là chu vi của các tam giác \(ABC,{A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},...,{A_n}{B_n}{C_n},...\)Tìm tổng \(P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\)
Bước 1:
Gọi \({a_n}\) là cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) với n nguyên dương.
Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì \({A_n}{B_n}{C_n}\) bằng \({a_n} = \dfrac{a}{{{2^n}}}\) với mọi số nguyên dương n (*)
Vì \({A_1},{B_1},{C_1}\) là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên \({a_1} = \dfrac{a}{2}\)
Cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh là \(\dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{{{2^1}}}\)
Giả sử (*) đúng với \(n = k\)
Tức là cạnh của tam giác \({A_k}{B_k}{C_k}\) là \({a_k} = \dfrac{a}{{{2^k}}}\)
Ta có \({A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}\) có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác \({A_k}{B_k}{C_k}\) nên có cạnh là \({a_{k + 1}} = \dfrac{{{a_k}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{{2^k}}} = \dfrac{a}{{{2^{k + 1}}}}\)
=> (*) đúng với \(n = k + 1\)
=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
=> Chu vi của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) như giả thiết là \({P_n} = \dfrac{{3a}}{{{2^n}}}\).
Bước 2:
Như vậy \(P = 3a;{P_1} = \dfrac{{3a}}{2};{P_2} = \dfrac{{3a}}{{{2^2}}};...;{P_n} = \dfrac{{3a}}{{{2^n}}};...\)
Dãy số \(\left( {{P_n}} \right)\) gồm \(P,{P_1},{P_2},...\)là cấp số nhân với số hạng đầu là \(P = 3a\), công bội \(q = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow P + {P_1} + {P_2} + ... = \dfrac{{3a}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 6a\)
Cho hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$. Nối bốn trung điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_{2}$. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ có diện tích $S_{3}, \ldots$ Tính tổng $S_{1}+S_{2}+\ldots$ bằng
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta có:
$\mathrm{S}_{1}$$=a^{2}$
$\mathrm{S}_{2}$$=\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}$ $=a^{2} \cdot \dfrac{1}{2}$
$\mathrm{S}_{3}$$=\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$
$\cdots$
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
$=a^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
Có $S_{1} ; S_{2} ; S_{3} ; \ldots$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
- Số hạng đầu: $S_{1}=a^{2}$
- Công bội: $q=\dfrac{1}{2}$
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Do đó: $S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+\ldots=\dfrac{S_{1}}{1-q}=\dfrac{a^{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=2 a^{2}$
