Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;0} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt 2 \)

\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;7;1} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = 5\sqrt 2 \)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 + 7 + 0 > 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right) < {90^0}\)

\( \Rightarrow \)Đường phân giác góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = 5.\overrightarrow {{u_1}}  + \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5;12;1} \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1\\2 + t = 2 + 7t'\\3 = 3 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\)

Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:  \(\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm VTPT

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 9 = 0\)

Suy ra \(\Delta  \subset \left( P \right)\). Khi đó ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) \ge d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)

Lại có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 2.2 - \left( { - 3} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 6\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất là \(d = 6.\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\).

\(\Delta \) đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta  \subset \left( P \right)\).

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) ta có \(AH \le AK\).

Do đó để khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất \( \Rightarrow H \in \Delta \).

Phương trình \(AH\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;1} \right)\) là 1 VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 2t\\y = 3 + t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2\\ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)\end{array}\)

\(\Delta \) đi qua \(B,\,\,H\) nhận \(\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP.

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\), đây cũng là VTCP của đường thẳng đi qua A và song song với d.

Đường thẳng qua A và song song với d nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\) là VTCP, có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z =  - 2 - 2t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)\), trục \(Ox\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot Ox\\\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i  = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {0; - 3;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {0; - 3;1} \right)\) là: \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 3t\\z = t\end{array} \right.\).