Biến cố và xác suất của biến cố

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 6!\).

Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

Chọn chỗ cho học sinh  nam thứ  2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có  2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.

\( \Rightarrow {n_A} = 6.4.2.3! = 288\)  cách.

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{288}}{{6!}} = \dfrac{2}{5}.\)

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:

      \({X_1}:\left\{ {1;4;7;...;19} \right\}\): chia cho 3 dư 1 (có 7 phần tử)

      \({X_2}:\left\{ {2;5;8;...;20} \right\}\): chia cho 3 dư 2 (có 7 phần tử)

      \({X_3}:\left\{ {3;6;9;...;18} \right\}\): chia hết cho 3 (có 6 phần tử)

Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:

+)  Cả 3 viên thuộc \({X_1}\), có: \(C_7^3\) cách

+)  Cả 3 viên thuộc \({X_2}\), có: \(C_7^3\) cách

+)  Cả 3 viên thuộc \({X_3}\), có: \(C_6^3\) cách

+)  1 viên thuộc \({X_1}\), 1 viên thuộc \({X_2}\), 1 viên thuộc \({X_3}\), có: \(7.7.6\) cách

\( \Rightarrow \)Số cách thỏa mãn là: \(C_7^3 + C_7^3 + C_6^3 + 7.7.6 = 384\)

* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \,\left( {a \ne 0;\,0 \le a,b,c,d \le 9;\,a,b,c,d \in \mathbb{N}} \right)\)

+ \(a\) có 9 cách chọn

+ \(b,c,d\) có 10 cách chọn

Không gian mẫu có số phần tử là \(n\left( \Omega  \right) = {9.10^3}\)

* Gọi \(A\) là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau

TH1 :  Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong \(\overline {abcd} \)

+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có \(9.10 = 90\) cách chọn 2 chữ số còn lại

+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có \(8\) cách chọn chữ số hàng nghìn và \(9\) cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có \(8.9 = 72\) cách chọn.

+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có \(9.9\) cách chọn.

Vậy trường hợp này có \(90 + 72 + 81 = 243\) số.

TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.

+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị

+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn

Vậy trường hợp này có \(9 + 8 = 17\) số

TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số

Số phần tử của biến cố A là \(n\left( A \right) = 243 + 17 + 1 = 261\)

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{261}}{{{{9.10}^3}}} = 0,029\)

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là \(C_9^2\)

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là \(C_7^3\)

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là \(C_4^4\)

Số phần tử của tập S là \(n\left( \Omega  \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260\)

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là \(C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280\) cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(686\) là 1 cụm thì có \(7\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_6^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(7.C_6^3.C_3^3 = 140\) số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(6886\) là 1 cụm thì có \(6\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_5^2\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(6.C_5^2.C_3^3 = 60\) số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(68886\) là 1 cụm thì có \(5\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_4^1\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(5.C_4^1.C_3^3 = 20\) số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(688886\) là 1 cụm thì có \(4\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \(4C_3^3 = 4\) số

Vậy biến cố A có \(280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504\) phần tử

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{504}}{{1260}} = \dfrac{2}{5}\)

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là \(9.9 = 81 \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = {81^2}\).

Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau \( \Rightarrow \) Có 81 cách.

TH2: Bạn Công viết số có dạng \(\overline {ab} \) và bạn Thành viết số có dạng \(\overline {ba} \).

\( \Rightarrow a \ne b \ne 0 \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.

TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.

+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng \(\overline {a0} \), Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)

\( \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.

+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\), hoặc \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).

    Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Có 16 cách.

    Nếu Công viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 0,\,\,b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.

    Nếu Công viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.

\( \Rightarrow \) Có 256 cách viết trùng số 1.

Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{2529}}{{{{81}^2}}} = \dfrac{{281}}{{729}}\).

Số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau là \({\rm{A}}_7^4 = 840 \Rightarrow n\left( S \right) = 840\).

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\)”. Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = {\rm{C}}_{840}^1 = 840\).

Biến cố \(A\):“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.

+ Trường hợp 1: Số được chọn có \(4\) chữ số đều là số lẻ, có \(4! = 24\)cách chọn.

+ Trường hợp 2: Số được chọn có \(1\) chữ số chẵn và \(3\) chữ số lẻ

Có \(C_3^1\) cách chọn 1 chữ số chẵn và \(C_4^3\) cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có \(4!\) cách sắp xếp 4 số được chọn nên có \({\rm{C}}_3^1.{\rm{C}}_4^3.4! = 288\) cách chọn thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số được chọn có \(2\) chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) có \(C_3^2.C_4^2\) cách.

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có \(2!\) cách sắp xếp 2 số lẻ và \(2!\) cách sắp xếp các số chẵn nên có \(3.2!.2!\) số thỏa mãn

* Suy ra trường hợp 3 có \(C_3^2.C_4^2.12 = 216\) cách chọn.

Suy ra \(n\left( A \right) = 24 + 288 + 216 = 528\).

Vậy xác suất cần tìm \({\rm{P}}\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{528}}{{840}} = \dfrac{{22}}{{35}}\).

+) Số phần tử của KGM: \(n\left( \Omega  \right) = n\left( X \right) = C_{18}^3\).

Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập \(X\) là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.

Có 18 đỉnh như vậy \( \Rightarrow \) Lập được \(8.18 = 144\) tam giác cân + đều.

Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 144 - 6 = 138\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P = P\left( A \right) = \dfrac{{136}}{{C_{18}^3}} = \dfrac{{23}}{{136}}\).

Áp dụng BĐT tam giác: \(\left| {a - b} \right| < c < a + b\) (với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác).

+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:

\(\left( {2;3;4} \right),\left( {2;4;5} \right),\left( {2;5;6} \right),\left( {3;4;5} \right),\left( {3;4;6} \right),\left( {3;5;6} \right),\left( {4;5;6} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có 7 tam giác không cân.

+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\) \( \Rightarrow a < 2b\).

TH1: \(b = 1 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a = 1\): Có 1 tam giác cân.

TH2: \(b = 2 \Rightarrow a < 4 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\): Có 3 tam giác cân.

TH3: \(b = 3 \Rightarrow a < 6 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\): Có 5 tam giác cân.

TH4: \(b = 4 \Rightarrow a < 8 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

TH5: \(b = 5 \Rightarrow a < 10 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

TH6: \(b = 6 \Rightarrow a < 12 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.

\( \Rightarrow \) Có \(1 + 3 + 5 + 6.3 = 27\) tam giác cân.

\( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 7 + 27 = 34\).

Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân” \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{27}^1 = 27\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{27}}{{34}}\).

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = {6^3} = 216\)

Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”

Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: \(C_3^2.1.1.5 = 15\) cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: \(1\) cách

Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: \(n\left( A \right) = 15 + 1 = 16\) cách

Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{16}}{{216}} = \dfrac{2}{{27}}\)

Do đó xác suất để thua 1 ván là \(1 - P\left( A \right) = 1 - \dfrac{2}{{27}} = \dfrac{{25}}{{27}}\)

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.

TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván

Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là \(C_3^2.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{{25}}{{27}} = \dfrac{{100}}{{6561}}\)

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là: \({\left( {\dfrac{2}{{27}}} \right)^3} = \dfrac{8}{{19683}}\)

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

\(P = \dfrac{{100}}{{6561}} + \dfrac{8}{{19683}} = \dfrac{{308}}{{19683}}\).

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 6!\)

Bước 1: Xếp 3 học sinh đứng đầu hàng

+) Chọn 3 học sinh lớp A, B, C để đứng đầu hàng. Mỗi lớp 1 học sinh: Có \((C_2^1)^3\) cách chọn.

+) Với mỗi cách chọn trên ta sắp xếp thứ tự 3 học sinh này: Có 3! cách xếp.

Theo quy tắc nhân có 48 cách xếp 3 học sinh A,B,C đứng đầu hàng.

Bước 2: Với mỗi một cách xếp 3 học sinh ở 2 bước trên (Giả sử thứ tự khi xếp 3 học sinh ở bước 2 là ABC),

+) Ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại xếp vị trí thứ 4

=> Chỉ có thể là học sinh lớp A: ABCA

+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 5: Chỉ có thể là B

+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 6: Chỉ có thể là C

Số phần tử của A là: \(n\left( A \right) = (C_2^1)^3.3! = 48\) \( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{48}{{6!}} = \dfrac{1}{{15}}\).

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\).

- Số cách chọn \(a\): 6 cách.

- Số cách chọn \(b,c,d\): \(A_6^3\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(6.A_6^3 = 720\) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

\( \Rightarrow \) Tập hợp \(S\) có 720 phần tử.

Chọn ngẫu nhiên 2 số từ \(S\) \( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{720}^2\).

Trong các số \(0,1,2,3,4,5,6\) có 4 số chẵn và 3 số lẻ.

a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:

Nếu số đó có dạng \(\overline {abc0}  \Rightarrow \) có \(A_6^3 = 120\) số thỏa mãn.

Nếu số đó dạng \(\overline {abcd} ;\,\,\,d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) có \(3.5.A_5^2 = 300\) số thỏa mãn.

Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.

b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:

Số các số lẻ \( = 720 - 420 = 300\) số.

Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.

- Lấy hai số chẵn từ tập \(S\) có \(C_{420}^2\) cách.

- Lấy hai số lẻ từ tập \(S\) có \(C_{300}^2\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{420}^2 + C_{300}^2\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\).

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \({a_1}\): 9 cách.

Số cách chọn 7 chữ số còn lại: \(A_9^7\) cách.

\( \Rightarrow \) Tập hợp A có \(9.A_9^7\) số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{9.A_9^7}^1 = 9.A_9^7\).

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.

Ta có: \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}}  = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\).

Vì \({10^k}\,\, \vdots \,\,25\,\,\forall k = \overline {2;8} ,\,\,k \in \mathbb{N}\) nên \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).

Do \({a_7},\,\,{a_8} \in \mathbb{N},\,\,0 \le {a_7},\,\,{a_8} \le 9\), \({a_7} \ne {a_8}\)  nên \(0 < 10{a_7} + {a_8} \le 99\).

\( \Rightarrow 10{a_7} + {a_8} \in \left\{ {25;50;75} \right\}\).

Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên \({a_8} \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(10{a_7} + {a_8} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

TH2:  \(10{a_7} + {a_8} = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = 5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = \dfrac{{45}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

\(\) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 8 cách \(\left( {{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(8.A_7^5\) số.

TH3:  \(10{a_7} + {a_8} = 75 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{75}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 7\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

\( \Rightarrow n\left( M \right) = 2.7.A_7^5 + 8.A_7^5 = 55440\).

Vậy xác suất của biến cố M là \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{55440}}{{9.A_9^7}} = \dfrac{{11}}{{324}}\)

Số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là: \(8!\) cách.

Gọi biến cố A: “Học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B”.

TH1: Học sinh A đứng ở đầu hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B

\( \Rightarrow \) Có: \(C_2^1.6!\) cách xếp.

TH2: Học sinh A đứng ở cuối hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B

\( \Rightarrow \) Có: \(C_2^1.6!\) cách xếp.

TH3: Học sinh A đứng giữa hai bạn học sinh lớp B

\( \Rightarrow \) Có: \(2!.6!\) cách xếp.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n_A} = 2C_2^1.6! + 2!.6! = 4320\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \dfrac{{4320}}{{8!}} = \dfrac{3}{{28}}.\end{array}\)

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là: \(C_{60}^2\) cách lấy.

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.

TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^1.C_{54}^1\) cách lấy.

TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^2\) cách lấy.

TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)

\( \Rightarrow \) Có \(\left( {30 - 6} \right)\left( {12 - 6} \right) = 24.6 = 144\) cách lấy.

\( \Rightarrow {n_A} = C_6^1.C_{54}^1 + C_6^2 + 144 = 483\) cách lấy.

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{483}}{{C_{60}^2}} = \dfrac{{161}}{{590}}.\)

Gọi số phần quà Sử - Địa là \(x\), số phần quà Sử - GDCD là \(y\) và số phần quà Địa – GDCD là \(z\) 

Tổng số phần quà là 15 nên x+y+z=15.

Phần quà có môn sử chỉ có 2 kiểu: Sử- Địa (x phần quà) và Sử - GDCD(y phần quà). Do có 12 quyển sách sử nên 12 quyển này nằm hoàn toàn trong 2 kiểu phần quà trên. Do đó, x+y=12.

Tương tự với Địa: x+z=8.

GDCD: y+z=10

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 15\\x + y = 12\\y + z = 10\\x + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\\z = 3\end{array} \right.\)

Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.

            Số phần quà Sử - GDCD là 7.

            Số phần quà Địa – GDCD là 3.

Chọn 2 trong 15 phần quà \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^2 = 105\).

Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có:

\(n\left( A \right) = C_5^1.C_7^1 + C_7^1.C_3^1 + C_3^1.C_5^1 = 71\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{71}}{{105}}\).

Nếu \(A\) và \(\overline A \) là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( {\overline A } \right) + P\left( A \right)=1 \Leftrightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Bước 1:

Gọi số có số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt là  ,  

Bước 2:

+ \(a\) có \(9\) cách chọn, \(b\) có \(9\) cách chọn, \(c\) có \(8\) cách chọn, \(d\) có \(7\) cách chọn

Nên có \(9.9.8.7 = 4536\) số. Hay số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 4536\)

Bước 3:

Gọi A là biến cố  

Bước 4:

+ Nếu \(a \in \left\{ {3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) thì số cách chọn 3 chữ số \(b,c,d\) là \(A_9^3\)  nên có \(7.A_9^3\) số

+ Nếu \(a = 2\) và \(b = 5\) thì \(c,d \in \left\{ {0;1;3;4;6;7;8;9} \right\}\) nên có \(A_8^2\) số

+ Nếu \(a = 2;b \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}\) thì có \(A_8^2\) cách chọn \(c,d\) nên có \(4.A_8^2\) số

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 7.A_9^3 + A_8^2 + 4.A_8^2 = 3808\)

Bước 5:

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{3808}}{{4536}} = \dfrac{{68}}{{81}}\)

Bước 1:

Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.

Bước 2:

Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là \(\left| \Omega  \right| = C_{12}^3\).

Bước 3:

Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = \dfrac{{12}}{3} = 4.\)

Bước 4:

Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{4}{{C_{12}^3}} = \dfrac{1}{{55}}.\)

Bước 1:

Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.

Bước 2:

Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13=169.

Bước 3:

Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7

Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8

Do đó có 7.8=56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.

Bước 4:

Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{56}}{{169}}.\)

Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư

Cả trường có 23 em bí thư.

Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là \(C_{23}^9\) \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{23}^9\).

Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối” \( \Rightarrow \overline A \): “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”.

Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là \(C_{16}^9\) cách.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là \(C_{15}^9\) cách.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là \(C_{15}^9\) cách.

\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9\).

Vậy xác suất cần tính là \(P\left( A \right) = 1 - \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = 1 - \dfrac{{C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9}}{{C_{23}^9}} = \dfrac{{7234}}{{7429}}\).