Bài toán về điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng

Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội

Đổi lựa chọn

Câu 21 Trắc nghiệm

Tập  hợp các điểm trong mặt phẳng  tọa  độ  biểu diễn  số  phức  $z$   thoả  mãn  điều  kiện \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z  + 2i} \right|\)  là hình gì?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Đặt

$\begin{array}{l}z = a + bi;a,b \in R;{i^2} =  - 1\\ \Rightarrow z - i = a + \left( {b - 1} \right)i\\ \Rightarrow z - \overline z  + 2i = \left( {2 + 2b} \right)i\\ \Rightarrow \left| {z - \overline z  + 2i} \right| = 2\left| {z - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2 + 2b} \right)}^2}}  = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}  \\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16b = 0 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{4}{a^2}\end{array}$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường parabol

Câu 22 Trắc nghiệm

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi \(z = x + yi\). Khi đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức$z$.

Ta có : \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10 \)

$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}}  + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}}  = 10$.

Đặt ${F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)$, khi đó : \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}( = 4)\) nên tập hợp các điểm $M$ là elip $\left( E \right)$  có 2 tiêu điểm là ${F_1};{F_2}$ . Gọi $\left( E \right)$ có dạng : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a\\{F_1}{F_2} = 4 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}}  = \sqrt {21} \)

Vậy tập hợp các điểm $M$ là elip : \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\).      

Câu 23 Trắc nghiệm

Cho các số phức \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} =  - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\). Diện tích tam giác ABC bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} =  - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\) nên \(A\left( {3; - 2} \right);\,\,B\left( {1;4} \right);\,\,C\left( { - 1;1} \right).\)

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \\
AC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = 5\\
BC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {13}
\end{array}$

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\) ta có: \(p = \dfrac{{2\sqrt {10}  + 5 + \sqrt {13} }}{2}.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = 9.\)

Câu 24 Trắc nghiệm

Cho số phức \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = {m^2} - m - 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {x^2} - 7x + 6\end{array} \right.\).

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 7x + 6\)

Hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) với trục hoành là \({x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng

\(S = \int\limits_1^6 {\left| {{x^2} - 7x + 6} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^6 {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{125}}{6}\)

Câu 25 Trắc nghiệm

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) gọi \(M\) là điểm biểu diễn hình học của số phức \(z =  - 1 + 2i\) và \(\alpha \) là góc lượng giác có tia đầu \(Ox,\) tia cuối \(OM.\) Tính \(\tan 2\alpha .\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: \(z =  - 1 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( { - 1;\,\,2} \right).\)

 

Ta có:  \(\tan AOM = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{2}{1} = 2.\)

\( \Rightarrow \tan \alpha  =  - \tan AOM =  - 2\) (hai góc bù nhau)

\( \Rightarrow \tan 2\alpha  = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{{2.\left( { - 2} \right)}}{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}\)

Câu 26 Trắc nghiệm

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 6,\left| {{z_2}} \right| = 2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1}\) và số phức \(i{z_2}\). Biết \(\widehat {MON} = {60^0}\). Tính \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right|\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta chọn \({z_1} = 6\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {6;0} \right)\).

Khi đó \(\widehat {MON} = {60^0}\) nên chọn \(N\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) (hình vẽ) biểu diễn số phức \(i{z_2}\)

Suy ra điểm \(N'\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) biểu diễn số phức \({z_2}\) hay \({z_2} = \sqrt 3  - i\).

Khi đó \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {{6^2} + 9{{\left( {\sqrt 3  - i} \right)}^2}} \right| = 36\sqrt 3 \).

Câu 27 Trắc nghiệm

Cho hai số phức \({z_1} = 3 + i,\)\({z_2} =  - 1 + 2i\). Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn cho số phức \(w = 2{z_1} - {z_2}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có

\(\begin{array}{l}w = 2{z_1} - {z_2}\\\,\,\,\,\, = 2\left( {3 + i} \right) - \left( { - 1 + 2i} \right)\\\,\,\,\,\, = 6 + 2i + 1 - 2i = 7\end{array}\)

Vậy điểm biểu diễn của số phức \(w\) là \(M\left( {7;0} \right)\).

Câu 28 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(z.\bar z = 1\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Bước 1:

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in R} \right)\) khi đó \(\overline z  = x - yi\)

Bước 2:

Ta có: \(z.\overline z  = 1 \Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - {\left( {yi} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn.

Câu 29 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} =  - 1 + i,\) \(\,\,{z_2} = 1 + 2i,\)\({z_3} = 2 - i,\)\({z_4} =  - 3i\). Gọi S diện tích tứ giác ABCD. Tính S.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(A\left( { - 1;1} \right);\,\,B\left( {1;2} \right);\,\,C\left( {2; - 1} \right);\,\,D\left( {0; - 3} \right)\)

 

Phương trình AB: \(\dfrac{{x + 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow x + 1 = 2y - 2 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\,\,AB = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5  = \dfrac{3}{2}\) 

Phương trình BC: \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1 - 2}} \Leftrightarrow  - 3x + 3 = y - 2 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0 \Rightarrow d\left( {O;BC} \right) = \dfrac{5}{{\sqrt {10} }};\,\,BC = \sqrt {10} \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{5}{2}\) 

Phương trình CD: \(\dfrac{{x - 2}}{{0 - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow  - 2x + 4 =  - 2y - 2 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;CD} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }};\,\,CD = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.2\sqrt 2  = 3\)

Phương trình AD: \(\dfrac{{x + 1}}{{0 + 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}} \Leftrightarrow  - 4x - 4 = y - 1 \Leftrightarrow 4x + y + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;AD} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt {17} }};\,\,AD = \sqrt {17} \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {17}  = \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(S = {S_{\Delta OAB}} + {S_{\Delta OBC}} + {S_{\Delta OCD}} + {S_{\Delta OAD}} = \dfrac{{17}}{2}\).

Câu 30 Trắc nghiệm

Cho các số phức \({z_1} = 2,{z_2} =  - 4i,{z_3} = 2 - 4i\) có điểm biểu diễn tương ứng trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A, B, C. Diện tích tam giác ABC bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ: A(2;0), B(0;-4), C(2;-4).

Ta thấy tam giác ABC vuông tại C với độ dài hai cạnh góc vuông là: 2 và 4.

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AC.BC = \dfrac{1}{2}.4.2 = 4\)

Câu 31 Trắc nghiệm

Cho các số phức z thỏa mãn |z|= 2 và điểm A trong hình vẽ là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ, điểm biểu diễn số phức \(w = \dfrac{{ - 4}}{z}\) là một trong bốn điểm M, N, P, Q

Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Đặt \(z = x + yi\) \( =  > {x^2} + {y^2} = 4 =  > A\left( {x;y} \right)\)

Xét \(w = \dfrac{{ - 4}}{z} = \dfrac{{ - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{x + yi}}\) \( = \dfrac{{ - \left( {x+yi} \right)\left( {x - yi} \right)}}{{\left( {x + yi} \right)}} =  - x + yi\)

Điểm biểu diễn số phức w đối xứng A qua Oy

=> Điểm M.

Câu 32 Tự luận

Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b.\)

Đáp án 

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án 

Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình ban đầu cho $\left| {{1+i}} \right|$

Thay vào giả thiết ta có:

$\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right|}}{{\left| {1 + i} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {1 + i} \right)z + 5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left| {z + \dfrac{{5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {z + 2 - 3i} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 2 + 3i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b =  - 2 + 3 = 1\).

Câu 33 Tự luận

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 1\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {3 + 4i} \right)z + 2 + i\) là một đường tròn tâm \(I\), điểm \(I\) có tọa độ là $I(a;b)$, tính $a-b$

Đáp án: $a-b$

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án: $a-b$

Bước 1: Biểu diễn z theo w.

\(w=\left( 3+4i \right)z+2+i\Leftrightarrow \left( 3+4i \right)z=w-2-i\Leftrightarrow z=\dfrac{w-2-i}{3+4i}\)

Bước 2: Biến đổi phương trình ban đầu thành dạng \(\left| w-\left( a+bi \right) \right|=R\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 - i}}{{3 + 4i}} + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 - i + 3i - 4}}{{3 + 4i}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {w - 6 + 2i} \right|}}{{\left| {3 + 4i} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( {6 - 2i} \right)} \right| = 5\end{array}\)

=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \(I\left( 6;-2 \right)\) bán kính \(R=5\).

Vậy $a-b=8$

Câu 34 Tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn\(\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by+c=0\). Khi đó tỉ số \(\dfrac{a}{b}\) bằng:

Đáp án:

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án:

Bước 1:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)

Bước 2:  Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\) và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a + 8b + 5 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(6x + 8y + 5 = 0\).

Vậy \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).

Câu 35 Tự luận

Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(z.\bar z = 1\) là đường tròn có bán kính là:

Đáp án:

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án:

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in R} \right)\) khi đó \(\overline z  = x - yi\)

Ta có: \(z.\overline z  = 1 \Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - {\left( {yi} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn có bán kính bằng 1.