Bài tập tính điện trở dây dẫn, biến trở

+ Khi dây có đường kính \({d_1} = 1mm\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = \dfrac{{\pi d_1^2}}{4}\\{R_1} = \rho \dfrac{l}{{{S_1}}}\end{array} \right.\)

+ Khi dây có đường kính \({d_2} = 2mm\) , ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_2} = \dfrac{{\pi d_2^2}}{4}\\{R_2} = \rho \dfrac{l}{{{S_2}}}\end{array} \right.\)

Ta suy ra: \(\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \dfrac{{d_2^2}}{{d_1^2}} = \dfrac{{{2^2}}}{{{1^2}}} = 4\)

\( \Rightarrow {R_2} = \dfrac{{{R_1}}}{4} = \dfrac{{16}}{4} = 4\Omega \)

Ta có, điện trở của dây dẫn \(R = \rho \dfrac{l}{S}\)  (1)

Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}R = 100\Omega \\d = 0,4mm\\\rho  = {110.10^{ - 8}}\Omega .m\end{array} \right.\)  (2)

Tiết diện dây: \(S = \pi {r^2} = \pi \dfrac{{{d^2}}}{4} = \pi .\dfrac{{{{\left( {0,{{4.10}^{ - 3}}} \right)}^2}}}{4} = 1,{26.10^{ - 7}}{m^2}\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: \(l = \dfrac{{RS}}{\rho } = \dfrac{{100.1,{{27.10}^{ - 7}}}}{{{{110.10}^{ - 8}}}} = 11,4m\)

+ Khi dây có đường kính \({d_1} = 1mm\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = \dfrac{{\pi d_1^2}}{4}\\{R_1} = \rho \dfrac{l}{{{S_1}}}\end{array} \right.\)

+ Khi dây có đường kính \({d_2} = 2mm\) , ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_2} = \dfrac{{\pi d_2^2}}{4}\\{R_2} = \rho \dfrac{l}{{{S_2}}}\end{array} \right.\)

Ta suy ra: \(\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \dfrac{{d_2^2}}{{d_1^2}} = \dfrac{{{2^2}}}{{{1^2}}} = 4\)

\( \Rightarrow {R_2} = \dfrac{{{R_1}}}{4} = \dfrac{{16}}{4} = 4\Omega \)

Ta có, điện trở của dây dẫn \(R = \rho \dfrac{l}{S}\)  (1)

Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}R = 100\Omega \\d = 0,4mm\\\rho  = {110.10^{ - 8}}\Omega .m\end{array} \right.\)  (2)

Tiết diện dây: \(S = \pi {r^2} = \pi \dfrac{{{d^2}}}{4} = \pi .\dfrac{{{{\left( {{{0,4.10}^{ - 3}}} \right)}^2}}}{4} = {1,26.10^{ - 7}}{m^2}\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: \(l = \dfrac{{RS}}{\rho } = \dfrac{{{{100.1,27.10}^{ - 7}}}}{{{{110.10}^{ - 8}}}} = 11,4m\)

+ Mạch điện được vẽ lại như hình:

+ Ta đặt, \({R_{MC}} = x\left( \Omega  \right)\) với điều kiện \(0 < x < 12\)

\( \Rightarrow {R_{CN}} = 12 - x\left( \Omega  \right)\)

+ Khi đèn sáng bình thường, cường độ dòng điện qua đèn \({I_D} = \dfrac{{{P_D}}}{{{U_D}}} = \dfrac{3}{6} = 0,5W\)

+ Ta có \(\left[ {D//{R_{CM}}} \right]nt{R_{CN}}\) nên:

\({U_{CM}} = {U_D} = 6V\)

\({U_{CN}} = {U_{AB}} - {U_D} = 15 - 6 = 9V\)

+ Mặt khác, ta có: \({I_{CN}} = {I_{CM}} + {I_D}\)  (1)

Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{I_D} = 0,5\\{I_{CM}} = \dfrac{{{U_{CM}}}}{{{R_{CM}}}} = \dfrac{6}{x}\\{I_{CN}} = \dfrac{{{U_{CN}}}}{{{R_{CN}}}} = \dfrac{9}{{12 - x}}\end{array} \right.\)

Ta suy ra: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{9}{{12 - x}} = \dfrac{6}{x} + 0,5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0,5{x^2} + 9x - 72 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\Omega \\x =  - 24\Omega \left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \({R_{CM}} = 6\Omega \) thì khi đó đèn sáng bình thường.

+ Mạch điện được vẽ lại như hình:

+ Khi dịch chuyển con chạy C về phía A

\( \Rightarrow {R_{CM}}\) giảm dần, nhưng ta chưa thể kết luận về độ sáng của đèn thay đổi như thế nào được, mà cần phải tìm cường độ dòng điện qua đèn thay đổi như thế nào khi con chạy C dịch chuyển về phía A.

Ta có:

+ Điện trở của bóng đèn: \({R_D} = \dfrac{{U_D^2}}{{{P_D}}} = \dfrac{{{6^2}}}{3} = 12\Omega \)

+ Ta đặt, \({R_{MC}} = x\left( \Omega  \right)\) với điều kiện \(0 < x < 12\)

\( \Rightarrow {R_{CN}} = 12 - x\left( \Omega  \right)\)

+ Điện trở tương đương của mạch: \({R_m} = \dfrac{{{R_D}{R_{CM}}}}{{{R_D} + {R_{CM}}}} + {R_{CN}}\)

\( \Rightarrow {R_m} = \dfrac{{12x}}{{12 + x}} + 12 - x = \dfrac{{12x + 144 - {x^2}}}{{12 + x}}\)

+ Cường độ dòng điện qua mạch: \(I = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{{R_m}}} = \dfrac{{15}}{{\dfrac{{12x + 144 - {x^2}}}{{12 + x}}}} = \dfrac{{15\left( {12 + x} \right)}}{{12x + 144 - {x^2}}}\) (1)

 + Vì \({R_{CM}}//{R_D}\) ta suy ra: \({U_{CM}} = {U_D}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {I_{CM}}{R_{CM}} = {I_D}{R_D}\\ \Leftrightarrow {I_{CM}}.x = {I_D}.12\\ \Rightarrow {I_{CM}} = \dfrac{{12}}{x}{I_D}\end{array}\)

+ Lại có:

\(\begin{array}{l}I = {I_{CM}} + {I_D} \Leftrightarrow I = \dfrac{{12}}{x}{I_D} + {I_D}\\ \Leftrightarrow I = {I_D}\left( {\dfrac{{12}}{x} + 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {I_D} = \dfrac{{xI}}{{12 + x}}\)   (2)

Thay (1) vào (2), ta được: \({I_D} = \dfrac{x}{{12 + x}}\left( {\dfrac{{15\left( {12 + x} \right)}}{{12x + 144 - {x^2}}}} \right) = \dfrac{{15x}}{{ - {x^2} + 12x + 144}}\) 

Vậy cường độ dòng điện qua đèn phụ thuộc vào \(x\) theo biểu thức: \({I_D} = \dfrac{{15}}{{ - x + 12 + \dfrac{{144}}{x}}}\)

Ta thấy, khi C dịch chuyển về phía A thì x giảm dẫn đến \(\left( { - x + 12 + \dfrac{{144}}{x}} \right)\) tăng lên

\( \Rightarrow {I_D}\) giảm đi

\( \Rightarrow \) Độ sáng của đèn giảm đi (tức đèn sẽ tối dần) khi dịch chuyển con chạy C về A.

Ta có:

+ Khi con chạy C trùng với M thì \({R_{CN}} = 0 \Rightarrow {R_{td}} = R\) và khi đó vôn kế chỉ \(12V\) nghĩa là \({U_{AB}} = 12V\)

+ Khi con chạy C trùng với N thì ta có: \({R_{CN}} = {R_{MN}} = 20\Omega \) (bằng số ghi của biến trở)

Khi đó vôn kế chỉ \(7,2V\)

\( \Rightarrow {U_R} = 7,2V\)

\( \Rightarrow {U_{MN}} = {U_{AB}} - {U_R} = 12 - 7,2 = 4,8V\)

+ Ta có: \({I_{MN}} = \dfrac{{{U_{MN}}}}{{{R_{MN}}}} = \dfrac{{4,8}}{{20}} = 0,24A\)

Vì mạch nối tiếp nên ta có: \({I_R} = {I_{MN}} = 0,24A\)

Suy ra điện trở \(R = \dfrac{{{U_R}}}{{{I_R}}} = \dfrac{{7,2}}{{0,24}} = 30\Omega \)

Ta có:

+ Chiều dài của một vòng quấn là: \(C = 2\pi R = \pi d = 2\pi .0,045 = 0,1414m\)

+ Chiều dài của toàn bộ dây quấn: \(l = nC = 300.0,1414 = 42,42m\)

+ Điện trở \(R = \rho \dfrac{l}{S} = {4.10^{ - 7}}\dfrac{{42,42}}{{{{0,8.10}^{ - 6}}}} = 21,21\Omega \)  

Ta có:

+ Chiều dài của một vòng quấn là: \(C = 2\pi R = \pi d =\pi .0,045 = 0,1414m\)

+ Chiều dài của toàn bộ dây quấn: \(l = nC = 300.0,1414 = 42,42m\)

+ Điện trở lớn nhất của biến trở là: \(R = \rho \dfrac{l}{S} = {4.10^{ - 7}}\dfrac{{42,42}}{{{{0,8.10}^{ - 6}}}} = 21,21\Omega \) 

 Ta suy ra, dòng điện lớn nhất mà biến trở chịu được là: \({I_{max}} = \dfrac{{{U_{max}}}}{{{R_{max}}}} = \dfrac{{63,585}}{{21,21}} \approx 3A\)

Ta có:

+ Điện trở của cả vòng dây là \({R_0}\)

+ Chiều dài của vòng dây là \(C = 2\pi r\)  (với \(r\) là bán kính của vòng tròn)

+ Điện trở của đoạn \(AMB\) là: \({R_{AMB}} = \dfrac{\alpha }{{360}}{R_0}\)

+ Điện trở của đoạn \(ANB\) là: \({R_{ANB}} = \dfrac{{360 - \alpha }}{{360}}{R_0}\)

Mặt khác, ta có: \(AMB//ANB\) nên: \(R = \dfrac{{{R_{AMB}}{R_{ANB}}}}{{{R_{AMB}} + {R_{ANB}}}} = \dfrac{{\left( {360 - \alpha } \right)\alpha }}{{{{360}^2}}}{R_0}\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}\alpha  = {72^0}\\{R_0} = 25\Omega \end{array} \right.\) ta được: \(R = \dfrac{{\left( {360 - 72} \right).72}}{{{{360}^2}}}.25 = 4\Omega \)

Gọi \({R_1},{\rm{ }}{R_2}\) là điện trở của biến trở ứng với 2 vị trí trên của con chạy C; \(R\) là điện trở toàn phần của biến trở.

+ Điện trở toàn phần của biến trở: \(R = \rho \dfrac{l}{S} = {10^{ - 6}}\dfrac{{1,2}}{{{{0,2.10}^{ - 6}}}} = 6\Omega \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{R_1} = \dfrac{3}{{12}}R = 1,5\Omega \\{R_2} = \dfrac{9}{{12}}R = 4,5\Omega \end{array} \right.\)

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}{P_1} = {P_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{U}{{{R_0} + {R_1}}}} \right)^2}{R_1} = {\left( {\dfrac{U}{{{R_0} + {R_2}}}} \right)^2}{R_2}\\ \Rightarrow {R_0} = \sqrt {{R_1}{R_2}}  = \sqrt {1,5.4,5}  \approx 2,6\Omega \end{array}\)

Khi \({R_4} = 4\Omega \) thì \({I_A} = 0\), mạch trở thành mạch cầu cân bằng:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{R_1}}}{{{R_3}}} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_4}}}\\ \Rightarrow {R_2}{R_3} = {R_1}{R_4} = 0,5.4 = 2 \end{array}\)

+ Khi mắc vào mạch điện một điện trở R thì:

\({H_1} = \dfrac{R}{{R + r}} = 0,8 \Rightarrow r = \dfrac{R}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Khi mắc vào mạch điện một điện trở 3R thì:

\({H_2} = \dfrac{{3R}}{{3{\rm{R}} + r'}} = 0,96 \Rightarrow r' = \dfrac{R}{8}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\dfrac{r}{{r'}} = \dfrac{{\dfrac{R}{4}}}{{\dfrac{R}{8}}} = 2\)

Bài toán tương đương với điện trở R_AC nối tiếp với điện trở R_CB nên I_AC = I_CB

Do đó, ta có:

 \(\frac{{{U_{AC}}}}{{{U_{CB}}}} = \frac{{{I_{AC}}{R_{AC}}}}{{{I_{CB}}{R_{CB}}}} = \frac{{{R_{AC}}}}{{{R_{CB}}}}\)

Mặt khác, ta có: \(R = \rho \frac{l}{S}\)

\(\frac{{{U_{AC}}}}{{{U_{CB}}}} = \frac{{{R_{AC}}}}{{{R_{CB}}}} = \frac{{{l_{AC}}}}{{{l_{CB}}}} = \frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AC}}{{AB - AC}}\)

Theo đề bài, ta có:

\(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{5} \to AB = 1,25AC\)

 \( \to \frac{{{U_{AC}}}}{{{U_{CB}}}} = \frac{{AC}}{{AB - AC}} = \frac{{AC}}{{1,25AC - AC}} = 4\)

+ Thể tích của cuộn dây:

 \(V = \frac{m}{D} = \frac{{0,81}}{{2,{{7.10}^3}}} = {3.10^{ - 4}}{m^3}\)

+ Chiều dài của dây nhôm:

\(l = \frac{V}{S} = \frac{{{{3.10}^{ - 4}}}}{{0,{{1.10}^{ - 6}}}} = 3000m\)

+ Điện trở của cuộn dây nhôm:

\(R = \rho \frac{l}{S} = 2,{8.10^{ - 8}}\frac{{3000}}{{0,{{1.10}^{ - 6}}}} = 840\Omega \)

Vì đèn sáng bình thường nên dòng điện chạy trong mạch là: I = 0,8A

Ta có:

+ Điện trở của bóng đèn:

\({R_D} = \frac{{{U_D}}}{{{I_D}}} = \frac{{24}}{{0,8}} = 30\Omega \)

+ Điện trở của mạch:

\({R_{AB}} = \frac{{{U_{AB}}}}{I} = \frac{{32}}{{0,8}} = 40\Omega \)

Mặt khác, ta có: Biến trở mắc nối tiếp với bóng đèn:

R_AB = R_D + R => R = R_AB - R­_D = 40 - 30 = 10$\Omega $

Ta có:

+ Điện trở của bóng đèn:

\({R_D} = \frac{{{U_D}}}{{{I_D}}} = \frac{{24}}{{0,8}} = 30\Omega \)

+ Điện trở của biến trở: R’ = 20$\Omega $

+ Điện trở của mạch: R_AB = R_D + R’ = 30 + 20 = 50$\Omega $

+ Cường độ dòng điện trong mạch khi này:

\(I = \frac{U}{{{R_{AB}}}} = \frac{{32}}{{50}} = 0,64A\)

Đèn sáng bình thường khi cường độ dòng điện trong mạch là 0,8A

Ta thấy I < 0,8A => Đèn sáng yếu hơn mức bình thường

Sơ đồ mạch điện được vẽ lại như hình

+ Vì điện trở lớn nhất của biến trở (điện trở toàn phần của biến trở là 16$\Omega $), nên ta có:

R_CN = R₁ thì R_CM = 16 - R₁

+ Đèn sáng bình thường nên: U_D = 6V = U_CN

\( \to {I_{CN}} = \frac{{{U_{CN}}}}{{{R_1}}} = \frac{6}{{{R_1}}}\)

Mặt khác, ta có:

\({I_{CM}} = {\text{ }}{I_{CN}} + {\text{ }}{I_D} \leftrightarrow \frac{6}{{16 - {R_1}}} = \frac{6}{{{R_1}}} + 0,75\)

\( \leftrightarrow 0,75R_1^2 = 96 \to {R_1} = 8\sqrt 2 \)

Ta có:

+ Thể tích của cuộn dây:

\(V = \frac{m}{D} = \frac{{1,068}}{{8,{{9.10}^3}}} = 1,{2.10^{ - 4}}{m^3}\)

+ Chiều dài của dây đồng:

\(l = \frac{V}{S} = \frac{{1,{{2.10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 6}}}} = 120m\)

+ Chiều dài của một vòng quấn là:

\(C = 2\pi R = \pi d = \pi .0,02 = 0,0628m\)

=> Số vòng dây quấn:

\(n = \frac{l}{C} = \frac{{120}}{{0,0628}} = 1909,9 \approx 1910\) vòng

Điện trở lớn nhất của biến trở là R₀ = 150$\Omega $ nên hiệu điện thế lớn nhất có thể đặt vào biến trở là:

U_max = I_max R₀ = 2.150 = 300V