Bài tập tính điện trở dây dẫn, biến trở

Gọi R₁ = R_OB = R, R₂ = R_ODB, R₃ = R_AO = R, R₄ = R_ACB

Từ hình vẽ, ta có:

((R₁ // R₂ ) nối tiếp R₃ ) // R₄

Ta có, dây dẫn tiết diện đều, đồng tính và điện trở của dây dẫn được xác định bằng biểu thức:

\(R = \rho \frac{l}{S}\)

\( \to \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = \frac{{\pi \left( {\frac{{OB}}{2}} \right)}}{{OB}} \to {R_2} = \frac{{\pi R}}{2}\)

Ta có: R₄ = 2R₂ => R₄ = πR

+ R₁//R₂ :

\({R_{12}} = \frac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = \frac{{\frac{{\pi R}}{2}\pi R}}{{\frac{{\pi R}}{2} + \pi R}} = \frac{{\pi R}}{{\pi  + 2}}\)

+ R₁₂ nt R₃:

\({R_{123}} = {R_{12}} + {R_3} = {R_{12}} = \frac{{\pi R}}{{\pi  + 2}} + R = 2R\left( {\frac{{\pi  + 1}}{{\pi  + 2}}} \right)\)

+ R₁₂₃ // R₄:

\({R_{AB}} = \frac{{{R_{123}}{R_4}}}{{{R_{123}} + {R_4}}} = 2\pi R\left( {\frac{{\pi  + 1}}{{{\pi ^2} + 4\pi  + 2}}} \right) \approx 1,065R\)

Gọi R₁, R₂ là điện trở của biến trở ứng với 2 vị trí trên của con chạyC; R là điện trở toàn phần của biến trở.

+ Điện trở toàn phần của biến trở:

\(R = \rho \frac{l}{S} = 13\Omega  \to \left\{ \begin{array}{l}{R_1} = \frac{4}{{13}}R = 4\Omega \\{R_2} = \frac{9}{{13}}R = 9\Omega \end{array} \right.\)

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}{P_1} = {P_2} \leftrightarrow {\left( {\frac{U}{{{R_0} + {R_1}}}} \right)^2}{R_1} = {\left( {\frac{U}{{{R_0} + {R_2}}}} \right)^2}{R_2}\\ \to {R_0} = \sqrt {{R_1}{R_2}}  = 6\Omega \end{array}\)

Khi R₄ = 6$\Omega $ thì I_A = 0, mạch trở thành mạch cầu cân bằng:

\(\frac{{{R_1}}}{{{R_3}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_4}}} \to {R_2}{R_3} = {R_1}{R_4} = 1.6 = 6\)

\(\left( {{R_1}nt{R_2}} \right)//{R_3} \Rightarrow {R_{_b}} = \dfrac{{\left( {R + R} \right).R}}{{3R}} = \dfrac{{2{{\rm{R}}^2}}}{{3R}} = \dfrac{{2R}}{3}\)

Cường độ dòng điện khi đèn sáng bình thường là:

\(I = \dfrac{P}{U} = \frac{{60}}{{120}} = 0,5{\rm{A}}\)

Ta có: \(P = \dfrac{{{U^2}}}{R} \Rightarrow R = \dfrac{{{U^2}}}{P} = \dfrac{{{{120}^2}}}{{60}} = 240\Omega \)

Đề bóng đèn sáng bình thường ở mạng điện có hiệu điện thế 220V thì:

\({R_{t{\rm{d}}}} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{{220}}{{0,5}} = 440V\)

Suy ra phải mắc bóng đèn nối tiếp với điện trở phụ là:

\({R_p} = {R_{t{\rm{d}}}} - R = 440 - 240 = 200\Omega \)

Công suất tỏa nhiệt trên mạch ngoài là:

\(P = {I^2}R = \frac{{{E^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} = \frac{{{E^2}}}{{R + \frac{{{r^2}}}{R} + 2r}}\)

Khi điện trở mạch ngoài \({R_1} = 4\Omega \) và \({R_2} = 1\Omega \), mạch ngoài có cùng công suất, ta có:

\(\begin{array}{l}{P_1} = {P_2} \Rightarrow \frac{{{E^2}}}{{{R_1} + \frac{{{r^2}}}{{{R_1}}} + 2r}} = \frac{{{E^2}}}{{{R_2} + \frac{{{r^2}}}{{{R_2}}} + 2r}}\\ \Rightarrow {R_1} + \frac{{{r^2}}}{{{R_1}}} = {R_2} + \frac{{{r^2}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {R_1} - {R_2} = {r^2}.\left( {\frac{1}{{{R_2}}} - \frac{1}{{{R_1}}}} \right)\\ \Rightarrow {R_1} - {R_2} = {r^2}.\frac{{{R_1} - {R_2}}}{{{R_1}.{R_2}}} \Rightarrow {R_1}{R_2} = {r^2}\\ \Rightarrow r = \sqrt {{R_1}{R_2}}  = 2\,\,\left( \Omega  \right)\end{array}\)

Công suất của mạch ngoài khi đó là:

\({P_1} = \frac{{{E^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} \Rightarrow 16 = \frac{{{E^2}.4}}{{{{\left( {4 + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow E = 12\,\,\left( V \right)\)

Khi nối tắc hai cực của nguồn điện, cường độ dòng điện trong mạch là:

\(I = \frac{E}{r} = \frac{{12}}{2} = 6\,\,\left( A \right)\)

Khi điện trở mạch ngoài là \({R_1};\,\,{R_2}\), hiệu suất của nguồn điện là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{H_1} = \frac{{{R_1}}}{{{R_1} + r}}\\{H_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_2} + r}}\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}{H_2} = 2{H_1} \Rightarrow \frac{{{R_2}}}{{{R_2} + r}} = 2\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + r}}\\ \Rightarrow \frac{{10,5}}{{10,5 + r}} = \frac{{2.3}}{{3 + r}} \Rightarrow r = 7\,\,\left( \Omega  \right)\end{array}\)