Bài tập định luật Culông (Phần 1)

Theo định luật Cu-lông ta có: Lực tác dụng của điện tích ${q_1}$  lên ${q_2}$ và lực tác dụng của điện tích ${q_2}$  lên ${q_1}$ bằng nhau: ${F_{12}} = {F_{21}} = F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}$

Ta có:

+ Khi ${r_1} = 2cm$: Lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r_1}^2}}$

+ Khi ${r_2} = 4cm$: Lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích: $F' = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r_2}^2}}$

$\begin{array}{l} \to \dfrac{{F'}}{F} = \dfrac{{r_1^2}}{{r_2^2}} = \dfrac{{{{({{2.10}^{ - 2}})}^2}}}{{{{({{4.10}^{ - 2}})}^2}}} = \dfrac{1}{4}\\ \to F' = \dfrac{F}{4}\end{array}$

Theo định luật Cu-lông, ta có: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}$

+ Khi 2 điện tích đặt trong không khí, $\varepsilon  = 1$: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}}$

+ Khi đặt 2 điện tích vào trong dầu có $\varepsilon  = 2$, và $r' = 2r$ : $F' = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon r{'^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{2.{{\left( {2r} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{8}k\frac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = \dfrac{1}{8}F$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = 12\\F' = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}} = 4\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{F}{{F'}} = \varepsilon  = \dfrac{{12}}{4} = 3$

Ta có ${q_1}{q_2} < 0$ $\Rightarrow$ 2 quả cầu hút nhau

Lực hút giữa hai quả cầu: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| { - 3,{{2.10}^{ - 7}}.2,{{4.10}^{ - 7}}} \right|}}{{1.{{\left( {{{12.10}^{ - 2}}} \right)}^2}}} = 0,048N = 48mN$

Theo định luật Cu-lông, ta có: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}$

- Đặt trong chân không $\Rightarrow \varepsilon  = 1$

$\begin{array}{l}F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}}\\ \Rightarrow r = \sqrt {k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{F}}  = \sqrt {{{9.10}^9}\dfrac{{\left| {{{2.10}^{ - 6}}{{.6.10}^{ - 6}}} \right|}}{{0,1}}}  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{5}m\end{array}$

+ Ta có, lực tương tác giữa hai điện tích điểm:

$F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}$

$\to \left| {{q_1}{q_2}} \right| = \dfrac{{F.{r^2}}}{{\varepsilon k}} = \dfrac{{1,8.{{(0,2)}^2}}}{{{{1.9.10}^9}}} = {8.10^{ - 12}}$

Do ${q_1},{q_2}$ đẩy nhau nên ta suy ra ${q_1}{q_2} = {8.10^{ - 12}}$   (1)

+ Mặt khác, ${q_1} + {q_2} =  - {6.10^{ - 6}}C$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}{q_1}{q_2} = {8.10^{ - 12}}\\{q_1} + {q_2} =  - {6.10^{ - 6}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q_1} =  - {4.10^{ - 6}}C\\{q_2} =  - {2.10^{ - 6}}C\end{array} \right.$

Do hai điện tích điểm giống nhau , ta suy ra ${q_1} = {q_2} = q$

+ Khi khoảng cách giữa hai điện tích ${r_1} = 4cm = 0,04m$ thì ${F_1} = k\dfrac{{{q^2}}}{{r_1^2}} = {10^{ - 5}}N$

Suy ra: ${q^2} = \dfrac{{F.r_1^2}}{k} = \dfrac{{{{10}^{ - 5}}.0,{{04}^2}}}{{{{9.10}^9}}} = \dfrac{{16}}{9}{.10^{ - 18}}$

+ Khi khoảng cách giữa hai điện tích là ${r_2}$ thì ${F_2} = k\dfrac{{{q^2}}}{{r_2^2}} = 2,{5.10^{ - 6}}N$

Suy ra:

$\begin{array}{l}r_2^2 = \dfrac{{k{q^2}}}{F} = \dfrac{{{{9.10}^9}.\dfrac{{16}}{9}{{.10}^{ - 18}}}}{{2,{{5.10}^{ - 6}}}} = 6,{4.10^{ - 3}}\\ \Rightarrow {r_2} = 0,08m = 8cm\end{array}$  

Ta có:

+ Khi khoảng cách giữa hai điện tích $r$: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = {5.10^{ - 7}}N$

+ Khi đưa chúng ra lại gần nhau thêm $2cm$ thì khoảng cách giữa hai điện tích lúc này là $r' = r - 0,02$, khi đó:

$F' = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{r{'^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{{(r - 0,02)}^2}}} = {2.10^{ - 6}}N$

$\begin{array}{l} \to \dfrac{F}{{F'}} = \dfrac{{r{'^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{{{{(r - 0,02)}^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{{{{5.10}^{ - 7}}}}{{{{2.10}^{ - 6}}}} = \dfrac{1}{4}\\ \to r - 0,02 = \dfrac{{\rm{r}}}{2}\\ \to r = 0,04m = 4cm\end{array}$

Ta có:

- ${q_1} = {q_2} = 1e =  - 1,{6.10^{ - 19}}C = q$

- Lực đẩy giữa hai prôtôn: ${F_1} = k\dfrac{{{q^2}}}{{{r^2}}}$

- Lực hấp dẫn giữa hai prôtôn:${F_2} = G\dfrac{{{m^2}}}{{{r^2}}}$

Để lực tĩnh điện bằng lực hấp dẫn:

$\begin{array}{l}{F_1} = {F_2} \Leftrightarrow k\dfrac{{{q^2}}}{{{r^2}}} = G\dfrac{{{m^2}}}{{{r^2}}}\\ \Rightarrow m = \sqrt {\dfrac{k}{G}} \left| q \right| = \sqrt {\dfrac{{{{9.10}^9}}}{{6,{{67.10}^{ - 11}}}}} 1,{6.10^{ - 19}} = 1,{86.10^{ - 9}}kg\end{array}$

Vị trí các điện tích như hình vẽ.

Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác ABC, ta có:

$cos\alpha  = \dfrac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}} = \dfrac{{{{10}^2} + {{15}^2} - {{10}^2}}}{{2.10.15}} = \dfrac{3}{4}$

Ta có, các lực tác dụng lên ${q_3}$ gồm:

+ Lực do ${q_1}$ tác dụng lên ${q_3}$: ${F_{13}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_3}} \right|}}{{r_{13}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| {{{10}^{ - 6}}{{.5.10}^{ - 6}}} \right|}}{{0,{1^2}}} = 4,5N$

 + Lực do ${q_2}$ tác dụng lên ${q_3}$: ${F_{23}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}{q_3}} \right|}}{{r_{23}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{{{10}^{ - 6}}{{.5.10}^{ - 6}}}}{{0,{{15}^2}}} = 2N$

Lực tổng hợp tại ${q_3}$: $\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {{F_{13}}}  + \overrightarrow {{F_{23}}}$

Về độ lớn:

$\begin{array}{l}F_3^2 = F_{13}^2 + F_{23}^2 + 2{F_{13}}{F_{23}}cos\left( {\widehat {\overrightarrow {{F_{13}}} ,\overrightarrow {{F_{23}}} }} \right)\\ = 4,{5^2} + {2^2} + 2.4,5.2.\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow {F_3} \approx 6,144N\end{array}$

Ta có: $\Delta ABC$ đều, suy ra: $AB = AC = BC = 10cm = 0,1m$

- Các điện tích q₁ và q₂ tác dụng lên điện tích q₃ các lực và có phương chiều như hình vẽ:

Có độ lớn: ${F_{13}} = {F_{23}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_3}} \right|}}{{r_{13}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| {{{10}^{ - 6}}{{.5.10}^{ - 6}}} \right|}}{{0,{1^2}}} = 4,5N$

Lực tổng hợp tại ${q_3}$: $\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {{F_{13}}}  + \overrightarrow {{F_{23}}}$

Về độ lớn:

$\begin{array}{l}F_3^2 = F_{13}^2 + F_{23}^2 + 2{F_{13}}{F_{23}}cos\left( {\widehat {\overrightarrow {{F_{13}}} ,\overrightarrow {{F_{23}}} }} \right)\\ = 4,{5^2} + 4,{5^2} + 2.4,5.4,5.cos{60^0}\\ = 4,{5^2}.3\\ \Rightarrow {F_3} = 4,5\sqrt 3 N\end{array}$

Ta có:

${r_{13}} = AC = 30cm = 0,3m$

${r_{23}} = BC = 40cm = 0,4m$

Các điện tích ${q_1}$ và ${q_2}$ tác dụng lên điện tích ${q_3}$ các lực $\overrightarrow {{F_{13}}}$ và $\overrightarrow {{F_{23}}}$ có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:

${F_{13}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_3}} \right|}}{{r_{13}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| {{{27.10}^{ - 8}}.\left( { - {{10}^{ - 7}}} \right)} \right|}}{{0,{3^2}}} = 2,{7.10^{ - 3}}N$

${F_{23}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}{q_3}} \right|}}{{r_{23}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| {{{64.10}^{ - 8}}\left( { - {{10}^{ - 7}}} \right)} \right|}}{{0,{4^2}}} = 3,{6.10^{ - 3}}N$

Lực tổng hợp do ${q_1}$ và ${q_2}$ tác dụng lên ${q_3}$ là:  $\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {{F_{13}}}  + \overrightarrow {{F_{23}}}$

Có độ lớn: ${F_3} = \sqrt {F_{13}^2 + F_{23}^2}  = \sqrt {{{\left( {2,{{7.10}^{ - 3}}} \right)}^2} + {{\left( {3,{{6.10}^{ - 3}}} \right)}^2}}  = 4,{5.10^{ - 3}}N$

(Do $\overrightarrow {{F_{13}}}  \bot \overrightarrow {{F_{23}}}$)

Ta có:

+ Khi khoảng cách giữa hai điện tích điểm là r: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}$

+ Khi khoảng cách giữa hai điện tích điểm là 3r: $F' = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {{\left( {3r} \right)}^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{9\varepsilon {r^2}}}$

=> $\dfrac{F}{{F'}} = 9 \to F' = \dfrac{F}{9}$

M là vị trí tại đó lực tổng hợp tác dụng lên điện tích q₀ = 0 nên:

$\begin{array}{l}{F_{1M}} = {F_{2M}} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {q.{q_0}} \right|}}{{r_{1M}^2}} = k\dfrac{{\left| {q.{q_0}} \right|}}{{r_{2M}^2}}\\ \Rightarrow r_{1M}^2 = r_{2M}^2 \Leftrightarrow {r_{1M}} = {r_{2M}}\end{array}$

=> M là trung điểm của đoạn thẳng nối q₁ và q₂ => M cách q₁ một khoảng d/2.

Lực tương tác giữa hai điện tích điểm: $F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \sim \left| {{q_1}{q_2}} \right|\\F \sim \frac{1}{{{r^2}}}\end{array} \right.$

Tăng độ lớn của hai điện tích và khoảng cách giữa chúng lên $4$ lần

→ lực tương tác giữa hai điện tích không thay đổi

Khi quả cầu cân bằng thì: $\overrightarrow P  + \overrightarrow T  + \overrightarrow {{F_d}}  = 0$

Đặt $\overrightarrow {T'}  = \overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_d}}  \Rightarrow \overrightarrow {T'}  + \overrightarrow T  = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {T'} \, \uparrow  \downarrow \overrightarrow T \\T' = T\end{array} \right.$

Biểu diễn các lực tác dụng lên quả cầu:

+ Từ hình vẽ ta có:

$\begin{array}{l}\tan \alpha  = \dfrac{{{F_d}}}{P} \Rightarrow {F_d} = P.\tan \alpha  = mg.\tan \alpha \\ \Rightarrow {F_d} = {5.10^{ - 3}}.10.\tan 30 = 0,029N\end{array}$

+ Khi hai dây treo hợp với nhau một góc 60⁰thì khoảng cách giữa hai điện tích bằng:

$l = 10cm = 0,1m$

+ Mà: $\left\{ \begin{array}{l}F = \dfrac{{k\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}}\\\left| {{q_1}} \right| = \left| {{q_1}} \right| = \left| q \right|\end{array} \right. \Rightarrow F = k.\dfrac{{{q^2}}}{{{l^2}}} \Rightarrow \left| q \right| = \sqrt {\dfrac{{F.{l^2}}}{k}}$

Thay số ta được: $\left| q \right| = \sqrt {\dfrac{{0,029.0,{1^2}}}{{{{9.10}^9}}}}  = 1,{8.10^{ - 7}}C$

+ Vậy tổng độ lớn điện tích đã truyền cho hai quả cầu là: $Q = 2.\left| q \right| = 3,{6.10^{ - 7}}\;C$

Lực tương tác điện giữa electron và proton có độ lớn:$F = k\dfrac{{{e^2}}}{{{r^2}}} = {9.10^9}.\dfrac{{{{\left( {1,{{6.10}^{ - 19}}} \right)}^2}}}{{{{({{5.10}^{ - 11}})}^2}}} = 9,{216.10^{ - 8}}N$

Lực điện tác dụng của q₁ lên q₂ là:

$F = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = {9.10^9}.\dfrac{{\left| {{{4.10}^{ - 6}}{{.16.10}^{ - 6}}} \right|}}{{{{\left( {{{30.10}^{ - 2}}} \right)}^2}}} = 6,4N$

Phân tích các lực tác dụng lên quả cầu:

Khi quả cầu cân bằng thì: $\overrightarrow P  + \overrightarrow T  + \overrightarrow {{F_d}}  = 0$

Đặt $\overrightarrow {T'}  = \overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_d}}  \Rightarrow \overrightarrow {T'}  + \overrightarrow T  = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {T'} \, \uparrow  \downarrow \overrightarrow T \\T' = T\end{array} \right.$

Hai dây treo hợp với nhau một góc 60⁰$\Rightarrow \alpha  = {30^0}$

Từ hình vẽ ta có:

$\begin{array}{l}\tan \alpha  = \dfrac{{{F_d}}}{P} \Rightarrow {F_d} = P.\tan \alpha  = mg.\tan \alpha \\ \Rightarrow {F_d} = 0,{3.10^{ - 3}}.10.\tan 30 = 1,{73.10^{ - 3}}N\end{array}$