Bài tập về tụ điện

Ta có:

+ Điện dung của tụ điện phẳng không khí: $C = \dfrac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \dfrac{{{{1.100.10}^{ - 4}}}}{{4\pi {{.9.10}^9}.\left( {{{5.10}^{ - 3}}} \right)}} = 1,{768.10^{ - 11}}F$

+ Khi tụ phóng điện thì năng lượng của tụ giảm dần.

Khi hết hẳn điện tích thì toàn bộ năng lượng của tụ chuyển hết thành nhiệt, do đó nhiệt lượng tỏa ra ở điện môi: ${Q_{toa}} = {\rm{W}} = 4,{19.10^{ - 3}}J$

+ Lại có: ${\rm{W}} = \dfrac{1}{2}C{U^2}$

Ta suy ra: $U = \sqrt {\dfrac{{2W}}{C}}  = \sqrt {\dfrac{{2.4,{{19.10}^{ - 3}}}}{{1,{{768.10}^{ - 11}}}}}  \approx 2,{2.10^4}V$ 

Ta có:

+ Năng lượng của tụ điện: $W = \dfrac{1}{2}C{U^2} = \dfrac{1}{2}(1,{5.10^{ - 6}}){120^2} = 0,0108J$

+ Khi tụ phóng điện qua lớp điện môi thì lớp điện môi nóng lên. Khi hết hẳn điện tích thì toàn bộ năng lượng của tụ chuyển hết thành nhiệt, do đó nhiệt lượng tỏa ra ở điện môi chính bằng năng lượng của tụ điện:

${Q_{toa}} = {\rm{W}} = 0,0108J$

Ta có:

+ Điện dung của bộ 5 tụ mắc song song: ${C_b} = {C_1} + {C_2} + {C_3} + {C_3} + {C_5} = 5C = 5.0,2 = 1\mu F$

+ Năng lượng của bộ tụ: ${\rm{W}} = \dfrac{1}{2}{C_b}{U^2} \to U = \sqrt {\dfrac{{2{\rm{W}}}}{{{C_b}}}}  = \sqrt {\dfrac{{2.0,{{8.10}^{ - 3}}}}{{{{1.10}^{ - 6}}}}}  = 40V$

Vì 5 tụ mắc song song, nên:

$U = {U_1} = {U_2} = {U_3} = {U_4} = {U_5} = 40V$

+ Năng lượng toàn phần : ${W_0} = \dfrac{1}{2}C{U^2}$

=> Năng lượng có ích: ${W_{ich}} = H{{\rm{W}}_0}$

+ Công suất trung bình mỗi xung: $P = \dfrac{{{{\rm{W}}_{ich}}}}{t} = \dfrac{{H{{\rm{W}}_0}}}{t} = \dfrac{{HC{U^2}}}{{2t}} = \dfrac{{0,05.\left( {{{2.10}^{ - 6}}} \right).{{({{4.10}^3})}^2}}}{{{{2.2.10}^{ - 6}}}} = 400000{\rm{W = 400kW}}$

Ta có ${C_1}//{C_2}//{C_3}$

$\Rightarrow {C_b} = {C_1} + {C_2} + {C_3} = 1 + 1,5 + 3 = 5,5\mu F$  

Ta có các tụ mắc nối tiếp

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{C_b}}} = \dfrac{1}{{{C_1}}} + \dfrac{1}{{{C_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{C_n}}}\\ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{1,5}} + \dfrac{1}{3} = 2\\ \to {C_b} = 0,5\mu F\end{array}$

Điện tích của bộ tụ: ${Q_b} = {C_b}.{U_{AB}} = 0,{2.10^{ - 6}}.120 = {60.10^{ - 6}}C = 60\mu C$

Ta có các tụ mắc nối tiếp

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{C_b}}} = \dfrac{1}{{{C_1}}} + \dfrac{1}{{{C_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{C_n}}}\\ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{1,5}} + \dfrac{1}{3} = 2\\ \to {C_b} = 0,5\mu F\end{array}$

+ Điện tích của bộ tụ: ${Q_b} = {C_b}.{U_{AB}} = 0,{2.10^{ - 6}}.120 = {60.10^{ - 6}}C = 60\mu C$

Vì các tụ nối tiếp nên: ${Q_1} = {Q_2} = {Q_3} = {Q_b} = 60\mu C$

+ Hiệu điện thế trên tụ ${C_2}$ là : ${U_2} = \dfrac{{{Q_2}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{{{60.10}^{ - 6}}}}{{1,{{5.10}^{ - 6}}}} = 40V$

+ Tụ mắc song song nên:

- Điện dung của bộ tụ: ${C_b} = {C_1} + {C_2} = 3 + 2 = 5\mu F$

- Hiệu điện thế: ${U_1} = {U_2} = {U_{AB}} = 25V$

+ Điện tích của tụ ${C_2}$:  ${Q_2} = {C_2}{U_2} = {2.10^{ - 6}}.25 = 50\mu C$

+ Tụ mắc song song nên:

- Điện dung của bộ tụ: ${C_b} = {C_1} + {C_2} = 3 + 2 = 5\mu F$

- Hiệu điện thế: ${U_1} = {U_2} = {U_{AB}} = 25V$

+ Điện tích của tụ ${C_2}$:  ${Q_2} = {C_2}{U_2} = {2.10^{ - 6}}.25 = 50\mu C$

+ Tụ mắc song song nên:

- Điện dung của bộ tụ: ${C_b} = {C_1} + {C_2} = 3 + 2 = 5\mu F$

- Hiệu điện thế: ${U_1} = {U_2} = {U_{AB}} = 25V$

+ Điện tích của tụ ${C_2}$:  ${Q_2} = {C_2}{U_2} = {2.10^{ - 6}}.25 = 50\mu C$

+ Vì tụ ${C_2}$ và ${C_3}$mắc nối tiếp nên: ${\dfrac{1}{C}_{23}} = \dfrac{1}{{{C_2}}} + \dfrac{1}{{{C_3}}} \to {C_{23}} = \dfrac{{{C_2}{C_3}}}{{{C_2} + {C_3}}} = 0,75\mu F$

+ Điện dung của bộ tụ: ${C_b} = {C_1} + {C_{23}} = 1\mu F$ 

+ Ta có:

$\begin{array}{l}{U_1} = {U_{23}} = {U_{AB}} = 12V\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{Q_1} = {C_1}{U_1} = {3.10^{ - 6}}C\\{Q_{23}} = {C_{23}}{U_{23}} = {9.10^{ - 6}}C\end{array} \right.\end{array}$

+ Lại có: ${Q_2} = {Q_3} = {9.10^{ - 6}}C \to {U_2} = \dfrac{{{Q_2}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{{{9.10}^{ - 6}}}}{{{{10}^{ - 6}}}} = 9V$

Từ mạch điện suy ra: $\left[ {\left( {{C_2}{\rm{ nt }}{C_3}} \right){\rm{//}}{C_4}} \right]{\rm{ nt }}{C_1}$

Ta có: ${C_{23}} = \dfrac{{{C_2}{C_3}}}{{{C_2} + {C_3}}} = 2\mu F$

$\begin{array}{l} \to {C_{234}} = {C_{23}} + {C_4} = 3\mu F\\ \to {C_b} = \dfrac{{{C_1}{C_{234}}}}{{{C_1} + {C_{234}}}} = 2\mu F\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}Q = {Q_1} = {Q_{234}} = 1,{2.10^{ - 4}}C\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \dfrac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} = 20V\\{U_{234}} = U - {U_1} = 40V\end{array} \right.\end{array}$

Lại có: ${Q_{23}} = {C_{23}}{U_{23}} = {2.10^{ - 6}}.40 = {8.10^{ - 5}}C = {Q_2} = {Q_3}$

Ta suy ra: ${U_2} = \dfrac{{{Q_2}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{{{8.10}^{ - 5}}}}{{{{3.10}^{ - 6}}}} = \dfrac{{80}}{3}V$

Từ mạch điện suy ra: $\left[ {\left( {{C_2}{\rm{ nt }}{C_3}} \right){\rm{//}}{C_4}} \right]{\rm{ nt }}{C_1}$

Ta có: ${C_{23}} = \dfrac{{{C_2}{C_3}}}{{{C_2} + {C_3}}} = 2\mu F$

$\begin{array}{l} \to {C_{234}} = {C_{23}} + {C_4} = 3\mu F\\ \to {C_b} = \dfrac{{{C_1}{C_{234}}}}{{{C_1} + {C_{234}}}} = 2\mu F\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}Q = {Q_1} = {Q_{234}} = 1,{2.10^{ - 4}}C\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \dfrac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} = 20V\\{U_{234}} = U - {U_1} = 40V\end{array} \right.\end{array}$

Lại có: ${Q_{23}} = {C_{23}}{U_{23}} = {2.10^{ - 6}}.40 = {8.10^{ - 5}}C = {Q_2} = {Q_3}$

Ta suy ra: ${U_3} = \dfrac{{{Q_3}}}{{{C_3}}} = \dfrac{{{{8.10}^{ - 5}}}}{{{{6.10}^{ - 6}}}} = \dfrac{{40}}{3}V$

+ Lúc đầu:

$\begin{array}{l}{C_b} = {C_1} + {C_2} = 0,2 + 0,4 = 0,6\mu F\\ \to {Q_b} = {C_b}U = 0,{6.10^{ - 6}}.450 = 2,{7.10^{ - 4}}C\end{array}$

+ Lúc sau:

$\begin{array}{l}{C_2}' = \varepsilon {C_2} = 2.0,4 = 0,8\mu F\\ \to {C_b}' = {C_1} + {C_2}' = 0,2 + 0,8 = 1\mu F\end{array}$

+ Vì ngắt tụ ra khỏi nguồn thì $Q$ không đổi nên ta có:

$U' = \dfrac{Q}{{{C_b}'}} = \dfrac{{2,{{7.10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 6}}}} = 270V$

+ Các tụ mắc song song nên: ${U_1}' = {U_2}' = U' = 270V$

+ Điện tích mới trên tụ ${C_2}$: ${Q_2} = {C_2}'{U_2}' = 0,{8.10^{ - 6}}.270 = 2,{16.10^{ - 4}}C$

Vì các tụ mắc nối tiếp nên:

$\dfrac{1}{{{C_b}}} = \dfrac{1}{{{C_1}}} + \dfrac{1}{{{C_2}}} + \dfrac{1}{{{C_3}}} \to {C_b} = \dfrac{6}{{11}}\mu F$

${Q_1} = {Q_2} = {Q_3} = {C_b}U = \dfrac{6}{{11}}U(\mu C)$ 

Hiệu điện thế trên các tụ là: $\left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \dfrac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{6U}}{{11}}}}{1} = \dfrac{6}{{11}}\mu F\\{U_2} = \dfrac{{{Q_2}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{\dfrac{{6U}}{{11}}}}{2} = \dfrac{{3U}}{{11}}\\{U_3} = \dfrac{{{Q_3}}}{{{C_3}}} = \dfrac{{\dfrac{{6U}}{{11}}}}{3} = \dfrac{{2U}}{{11}}\end{array} \right.$

Lại có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{U_1} \le {U_{gh}}\\{U_2} \le {U_{gh}}\\{U_3} \le {U_{gh}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{6U}}{{11}} \le 200\\\dfrac{{3U}}{{11}} \le 200\\\dfrac{{2U}}{{11}} \le 200\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}U \le \dfrac{{1100}}{3}V\\U \le \dfrac{{2200}}{3}V\\U \le 1100V\end{array} \right. \to U \le \dfrac{{1100}}{3}V\end{array}$

- Cách giải nhanh:

Vì $U = \dfrac{Q}{C}$, mà ${C_1} < {C_2} < {C_3}$ nên ${U_1} > {U_2} > {U_3}$ nên điều kiện để cho bộ tụ tồn tại là hiệu điện thế thành phần lớn nhất cũng phải nhỏ hơn hiệu điện thế giới hạn.

Do đó,

$\begin{array}{l}{U_1} \le {U_{gh}} \leftrightarrow \dfrac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} \le 200\\ \leftrightarrow \dfrac{1}{{{C_1}}}\dfrac{6}{{11}}U \le 200\\ \to U \le \dfrac{{1100}}{3}V\end{array}$

Ta có:

$Q = CU \Leftrightarrow C = \dfrac{Q}{U} = \dfrac{{1,{{25.10}^{ - 3}}}}{{25}} = {5.10^{ - 5}}F$

Nếu $U = 50V \Rightarrow Q = {5.10^{ - 5}}.50 = 2,{5.10^{ - 3}}C$

Ta có:

+ Hiệu điện thế $U = 10V$

+ Điện lượng $Q = {20.10^{ - 9}}C$

$\Rightarrow$ Điện dung của tụ điện: $C = \dfrac{Q}{U} = \dfrac{{{{20.10}^{ - 9}}}}{{10}} = {2.10^{ - 9}}F = 2nF$

Ta có:

+ Tụ có điện dung $C = 2\mu F = {2.10^{ - 6}}F$

+ Hiệu điện thế $U = 4V$

Lại có $C = \dfrac{Q}{U}$

$\Rightarrow$ Tụ điện tích được điện lượng là: $Q = CU = {2.10^{ - 6}}.4 = {8.10^{ - 6}}C$ 

Ta có:

+ Khi ${U_1} = 4V$ thì ${Q_1} = 2\mu C$

Suy ra điện dung $C = \dfrac{{{Q_1}}}{{{U_1}}} = \dfrac{{{{2.10}^{ - 6}}}}{4} = {5.10^{ - 7}}F$

+ Khi ${U_2} = 10V$ thì tụ tích được điện lượng ${Q_2} = C{U_2} = {5.10^{ - 7}}.10 = {5.10^{ - 6}}C = 5\mu C$

Ta có, điện dung của tụ điện $C = \dfrac{{\varepsilon S}}{{{{9.10}^9}.4\pi .d}}$

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = 100c{m^2} = 0,01{m^2}\\d = 1mm = {10^{ - 3}}m\\\varepsilon  = 5\end{array} \right.$ thay vào biểu thức trên ta được, điện dung của tụ điện:

$C = \dfrac{{5.0,01}}{{{{9.10}^9}.4\pi {{.10}^{ - 3}}}} = 4,{42.10^{ - 10}}F$