Bài tập về tụ điện

Năng lượng điện trường mà tụ điện tích được: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}C{U^2} = \dfrac{1}{2}{.20.10^{ - 6}}{.5^2} = 2,{5.10^{ - 4}}J = 0,25mJ\)

Ta có:

+ Khi \({U_1} = 10V\) thì \({{\rm{W}}_1} = \dfrac{1}{2}CU_1^2 = 10mJ\) (1)

+ Khi \({U_2} = ?\) thì \({{\rm{W}}_2} = \dfrac{1}{2}CU_2^2 = 22,5mJ\)  (2)

Lấy \(\dfrac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\rm{W}}_2}}}{{{{\rm{W}}_1}}} = \dfrac{{U_2^2}}{{U_1^2}} \Leftrightarrow \dfrac{{22,5}}{{10}} = \dfrac{{U_2^2}}{{{{10}^2}}}\\ \Rightarrow {U_2} = 15V\end{array}\)

 + Điện dung của tụ điện:

l\pi }}(nF)\)

+ Điện tích tích trên tụ:

\(Q = C.U = \dfrac{5}{{18\pi }}{.10^{ - 9}}.220 = \dfrac{{55}}{{9\pi }}{.10^{ - 8}}C\)

+  Khi nhúng tụ vào trong dung môi có: \(\varepsilon  = 2 \to C' = 2C = 2.\dfrac{5}{{18\pi }}\left( {nF} \right) = \dfrac{5}{{9\pi }}(nF)\)

Khi ngắt tụ ra khỏi nguồn => tụ điện trở thành hệ cô lập => điện tích của tụ không thay đổi:

\( \to Q' = Q \to C'U' = CU \to U' = \dfrac{C}{{C'}}U = \dfrac{U}{2} = \dfrac{{220}}{2} = 110(V)\)

Cấu tạo của mạch điện: \(\left[ {\left( {{{\rm{C}}_{\rm{1}}}{\rm{ nt }}{{\rm{C}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{//}}{{\rm{C}}_{\rm{3}}}} \right]{\rm{ nt }}{{\rm{C}}_{\rm{4}}}\)

Điện dung của bộ tụ:

\(\begin{array}{l}{C_{12}} = \dfrac{{{C_1}{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} = \dfrac{{6.4}}{{6 + 4}} = 2,4\left( {\mu F} \right)\\{C_{AM}} = {C_{12}} + {C_3} = 2,4 + 3,6 = 6\left( {\mu F} \right)\\{C_{AB}} = \dfrac{{{C_{AM}}{C_4}}}{{{C_{AM}} + {C_4}}} = \dfrac{{6.6}}{{6 + 6}} = 3\left( {\mu F} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Điện tích của bộ tụ: \({Q_{AB}} = {C_{AB}}.U = {3.10^{ - 6}}.100 = {3.10^{ - 4}}C\)

Gọi \(U\) là hiệu điện thế của bộ tụ

+ Từ mạch, ta có: \(\left( {{C_1}//{C_2}} \right)nt{C_3}\)

\({C_{12}} = {C_1} + {C_2} = 4 + 2 = 6\mu F\)

Điện dung của toàn mạch: \(\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{{{C_{12}}}} + \dfrac{1}{{{C_3}}}\)

\( \Rightarrow C = \dfrac{{{C_{12}}{C_3}}}{{{C_{12}} + {C_3}}} = \dfrac{{6.3}}{{6 + 3}} = 2\mu F\)

\( \Rightarrow Q = CU = 2U = {Q_{12}} = {Q_3}\)

+ Điều kiện để bộ tụ tồn tại: \(\left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \dfrac{{{Q_{12}}}}{{{C_1}}} = \dfrac{{2U}}{4} \le 1000V\\{U_2} = \dfrac{{{Q_{12}}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{2U}}{2} = U \le 500V\\{U_3} = \dfrac{{{Q_3}}}{{{C_3}}} = \dfrac{{2U}}{3} \le 300V\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}U \le 2000V\\U \le 500V\\U \le 450V\end{array} \right. \Rightarrow U \le 450V\)

Vậy, cần mắc hai đầu A, B vào nguồn điện có hiệu điện thế tối đa \(450V\) để bộ tụ không bị hỏng.

+ Vì điện dung của tụ là hàm bậc nhất của góc xoay \(\alpha \) nên ta có:

\(C = \alpha a + b\)  (a, b là hằng số)

+ Khi \(\alpha  = 0\) thì \({C_1} = 20pF\) và khi \(\alpha  = {90^0}\) thì \({C_2} = 200pF\) nên, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}20 = 0{\rm{a}} + b\\200 = 90{\rm{a}} + b\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 20\end{array} \right.\)

=> Biểu thức của điện dung: \(C = 2\alpha  + 20{\rm{  }}(pF)\)

+ Diện tích của mỗi bản tụ: \(S = {a^2} = {\left( {{{20.10}^{ - 2}}} \right)^2} = 0,04{m^2}\)

+ Điện dung của tụ điện phẳng: \(C = \dfrac{{\varepsilon S}}{{k.4\pi d}} = \dfrac{{6.\left( {0,04} \right)}}{{{{9.10}^9}.4\pi .\left( {0,01} \right)}} = 2,{12.10^{ - 10}}F\)

+ Điện tích mà tụ điện tích được: \(Q = CU = 2,{12.10^{ - 10}}.50 = 1,{06.10^{ - 8}}C\) 

Ta có, điện dung của tụ điện phẳng không khí: \(C = \dfrac{S}{{k.4\pi d}}\)

Lại có: diện tích \(S = \pi {R^2}\)

Suy ra: \(C = \dfrac{{\pi {R^2}}}{{k.4\pi d}} = \dfrac{{\pi .{{\left( {0,06} \right)}^2}}}{{{{9.10}^9}.4\pi .\left( {0,{{5.10}^{ - 2}}} \right)}} = {2.10^{ - 11}}F\)

Cường độ điện trường trong tụ điện là:

\(E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{4}{{0,{{2.10}^{ - 3}}}} = 20000V/m\)

Ta có, điện dung của tụ điện phẳng không khí: \(C = \dfrac{S}{{k.4\pi d}}\)

Lại có: diện tích \(S = \pi {R^2}\)

Suy ra: \(C = \dfrac{{\pi {R^2}}}{{k.4\pi d}} = \dfrac{{\pi .{{\left( {0,06} \right)}^2}}}{{{{9.10}^9}.4\pi .\left( {0,{{5.10}^{ - 2}}} \right)}} = {2.10^{ - 11}}F\)

+ Điện tích của tụ điện: \(Q = CU = {2.10^{ - 11}}.10 = {2.10^{ - 10}}C\)

Ta có, điện dung của tụ điện phẳng không khí: \(C = \dfrac{S}{{k.4\pi d}}\)

Lại có: diện tích \(S = \pi {R^2}\)

Suy ra: \(C = \dfrac{{\pi {R^2}}}{{k.4\pi d}} = \dfrac{{\pi .{{\left( {0,06} \right)}^2}}}{{{{9.10}^9}.4\pi .\left( {0,{{5.10}^{ - 2}}} \right)}} = {2.10^{ - 11}}F\)

+ Năng lượng của tụ điện: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}C{U^2} = \dfrac{1}{2}{.2.10^{ - 11}}{.10^2} = {10^{ - 9}}J = 1nJ\)

Ta có: 

+ Mật độ điện tích: \(\sigma  = \dfrac{Q}{S}\) (1)

+ \(Q = CU\) (2)

+ Mặt khác: \(C = \dfrac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:

\(\sigma  = \dfrac{Q}{S} = \dfrac{{CU}}{S} = \dfrac{{\dfrac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}}U}}{S} = \dfrac{{\varepsilon U}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \dfrac{{2.210}}{{4\pi {{.9.10}^9}{\rm{.1,5}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}}} = 2,{5.10^{ - 6}}(C/{m^2})\)

Ta có:

+ Điện dung của tụ điện phẳng không khí là: \(C = \dfrac{S}{{k.4\pi d}}\)

+ Khi tăng \(d\) lên gấp đôi thì \(C\) giảm đi một nửa, khi đó \(C' = \dfrac{C}{2}\)

Khi tụ vẫn nối vào nguồn điện thì \(U\) không đổi và năng lượng ban đầu của tụ là \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}C{U^2}\)

Năng lượng của tụ khi tăng \(d\) là \({\rm{W}}' = \dfrac{1}{2}C'{U^2}\)

Vì \(C' = \dfrac{C}{2}\) nên \({\rm{W}}' = \dfrac{{\rm{W}}}{2}\)

Ta có:

+ Điện dung của tụ điện phẳng không khí là: \(C = \dfrac{S}{{k.4\pi d}}\)

+ Khi tăng \(d\) lên gấp đôi thì \(C\) giảm đi một nửa, khi đó \(C' = \dfrac{C}{2}\)

Khi ngắt tụ ra khỏi nguồn thì \(Q\) không đổi và năng lượng ban đầu của tụ là \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{Q^2}}}{C}\)

Năng lượng của tụ khi tăng \(d\) là \({\rm{W}}' = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{Q^2}}}{{C'}}\)

Vì \(C' = \dfrac{C}{2}\) nên \({\rm{W}}' = 2W\)

 + Điện dung của tụ điện:

\(C = \dfrac{{\varepsilon .S}}{{{{9.10}^9}.4\pi .d}} = \dfrac{{{{36.10}^{ - 4}}}}{{{{9.10}^9}.4\pi .0,005}} = \dfrac{1}{{50\pi }}(nF)\)

+ Điện tích tích trên tụ:

\(Q = C.U = \dfrac{1}{{50\pi }}{.10^{ - 9}}.100 = \dfrac{2}{\pi }(nC)\)

+ Điện dung của tụ điện:

\(C = \dfrac{{\varepsilon .S}}{{{{9.10}^9}.4\pi .d}} = \dfrac{{{{36.10}^{ - 4}}}}{{{{9.10}^9}.4\pi .0,005}} = \dfrac{1}{{50\pi }}(nF)\)

+ Năng lượng điện trường:

\(W = \dfrac{1}{2}C{U^2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{{50\pi }}{.10^{ - 9}}{.10^4} = \dfrac{{0,1}}{\pi }(\mu J)\)

+ Điện dung của tụ điện:

\(C = \frac{{\varepsilon .S}}{{{{9.10}^9}.4\pi .d}} = \frac{{{{36.10}^{ - 4}}}}{{{{9.10}^9}.4\pi .0,005}} = \frac{1}{{50\pi }}(nF)\)

+ Điện tích tích trên tụ:

\(Q = C.U = \frac{1}{{50\pi }}{.10^{ - 9}}.100 = \frac{2}{\pi }(nC)\)

+  Khi nhúng tụ vào trong dung môi có: \(\varepsilon  = 2 \to C' = 2C = \frac{2}{{50\pi }} = \frac{1}{{25\pi }}(F)\)

Khi ngắt tụ ra khỏi nguồn => tụ điện trở thành hệ cô lập => điện tích của tụ không thay đổi:

\( \to Q' = Q \to C'U' = CU \to U' = \frac{C}{{C'}}U = \frac{U}{2} = 50(V)\)

Cấu tạo của mạch điện: \(\left( {\left( {{{\rm{C}}_{\rm{1}}}{\rm{ nt }}{{\rm{C}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{//}}{{\rm{C}}_{\rm{3}}}} \right){\rm{ nt }}{{\rm{C}}_{\rm{4}}}\)

Điện dung của bộ tụ:

\(\begin{array}{l}{C_{12}} = \frac{{{C_1}{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} = \frac{{6.4}}{{6 + 4}} = 2,4\left( {\mu F} \right)\\{C_{AM}} = {C_{12}} + {C_3} = 2,4 + 3,6 = 6\left( {\mu F} \right)\\{C_{AB}} = \frac{{{C_{AM}}{C_4}}}{{{C_{AM}} + {C_4}}} = \frac{{6.6}}{{6 + 6}} = 3\left( {\mu F} \right)\end{array}\)

Từ hình vẽ, ta có: Cấu tạo của mạch điện: \(\left[ {\left( {{{\rm{C}}_{\rm{1}}}{\rm{ nt }}{{\rm{C}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{//}}{{\rm{C}}_{\rm{3}}}} \right]{\rm{ nt }}{{\rm{C}}_{\rm{4}}}\)

 + Điện dung của bộ tụ:

\(\begin{array}{l}{C_{12}} = \frac{{{C_1}{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} = \frac{{6.4}}{{6 + 4}} = 2,4\left( {\mu F} \right)\\{C_{AM}} = {C_{12}} + {C_3} = 2,4 + 3,6 = 6\left( {\mu F} \right)\\{C_{AB}} = \frac{{{C_{AM}}{C_4}}}{{{C_{AM}} + {C_4}}} = \frac{{6.6}}{{6 + 6}} = 3\left( {\mu F} \right)\end{array}\)

+ Điện tích của các tụ:

 \(\begin{array}{l}{Q_{AB}} = {C_{AB}}.{U_{AB}} = {3.10^{ - 6}}.100 = {3.10^{ - 4}}(C) = {Q_{AM}} = {Q_4}\\{U_{AM}} = \frac{{{Q_{AM}}}}{{{C_{AM}}}} = \frac{{{{3.10}^{ - 4}}}}{{{{6.10}^{ - 6}}}} = 50(V) = {U_{12}} = {U_3}\\{Q_3} = {C_3}.{U_3} = 3,{6.10^{ - 6}}.50 = 1,{8.10^{ - 4}}(C)\\{Q_{12}} = {C_{12}}.{U_{12}} = 2,{4.10^{ - 6}}.50 = 1,{2.10^{ - 4}}(C) = {Q_1} = {Q_2}\end{array}\)

+ Điện tích cực đại có thể tích trên bộ tụ C_AM và C₄ là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{maxAM}} = {\rm{ }}{C_{AM}}.{U_{maxAM}} = {\rm{ }}{{6.10}^{ - 6}}.40{\rm{ }} = {\rm{ }}{{24.10}^{ - 5}}\left( C \right)}\\{{Q_{max4}} = {\rm{ }}{C_4}.{U_{max4}} = {\rm{ }}{{6.10}^{ - 6}}.60{\rm{ }} = {\rm{ }}{{36.10}^{ - 5}}\left( C \right)}\end{array}\)

Mà thực tế ta có vì C_AM; C₄ mắc nối tiếp nên để không có tụ nào bị đánh thủng thì:

\({Q_{AM}} = {\rm{ }}{Q_4} \le \min \left( {{{\rm{Q}}_{{\rm{maxAM}}}};{{\rm{Q}}_{{\rm{max4}}}}} \right)\)

Điện tích tối đa của bộ:  

Hiệu điện thế tối đa có thể đặt vào 2 đầu mạch điện là: \({U_{AB}} = \frac{{{Q_{AB}}}}{{{C_{AB}}}} = \frac{{{{24.10}^{ - 5}}}}{{{{3.10}^{ - 6}}}} = 80(V)\)

+ Vì điện dung của tụ là hàm bậc nhất của góc xoay  nên ta có:

\(C = \alpha a + b\)  (a, b là hằng số)

+ Khi \(\alpha  = 0\) thì \({C_1} = 30pF\) và khi \(\alpha  = {90^0}\) thì \({C_2} = 120pF\) nên, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}30 = 0{\rm{a}} + b\\120 = 90{\rm{a}} + b\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 30\end{array} \right.\)

=> Biểu thức của điện dung: \(C = \alpha  + 30{\rm{  }}(pF)\)