Bài tập về tụ điện

Ta có:

+ Điện dung của tụ điện: \(C = \frac{{\varepsilon S}}{{{{9.10}^9}.4\pi d}} = \frac{{{{5.100.10}^{ - 4}}}}{{{{9.10}^9}.4\pi {{.10}^{ - 3}}}} = 4,{421.10^{ - 10}}(F)\)

+ Điện tích mà tụ tích được là: \(Q = CU = 4,{421.10^{ - 10}}.100 = 4,{421.10^{ - 8}}(C)\)

Ta có:

+ \(C = \frac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \frac{{\varepsilon \pi {R^2}}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \frac{{\varepsilon {R^2}}}{{4k{\rm{d}}}}\) (1)

+ \(C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{{E{\rm{d}}}}\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra:

\(\frac{{\varepsilon {R^2}}}{{4k{\rm{d}}}} = \frac{Q}{{E{\rm{d}}}} \to R = \sqrt {\frac{{Q.4k}}{{\varepsilon E}}}  = \sqrt {\frac{{{{100.10}^{ - 9}}{{.4.9.10}^9}}}{{{{1.3.10}^5}}}}  \approx 0,11m\)

Ta có:  

+ Mật độ điện tích: \(\sigma  = \frac{Q}{S}\) (1)

+ \(Q = CU\) (2)

+ Mặt khác: \(C = \frac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:

\(\sigma  = \frac{Q}{S} = \frac{{CU}}{S} = \frac{{\frac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}}U}}{S} = \frac{{\varepsilon U}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \frac{{2.100}}{{4\pi {{.9.10}^9}{\rm{.2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}}} = 8,{8.10^{ - 7}}(C/{m^2})\)

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}C = \frac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}} \to \frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} = \frac{{{d_1}}}{{{d_2}}} = \frac{1}{2}\\ \to {C_2} = \frac{{{C_1}}}{2}\end{array}\)

+ Khi ngắt ra khỏi nguồn thì điện tích Q không đổi nên:  

\(\begin{array}{l}Q = {C_1}{U_1} = {C_2}{U_2}\\ \to {U_2} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}{U_1} = 2{U_1} = 100(V)\end{array}\)

+ Ta có, điện dung của tụ điện phẳng không khí:

\(C = \frac{S}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = \frac{{{{(0,06)}^2}}}{{{{4.9.10}^9}{\rm{.0,5}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{ - 2}}}} = {2.10^{ - 11}}(F)\)

+ Năng lượng của tụ điện: \({\rm{W}} = \frac{{C{U^2}}}{2} = \frac{{({{2.10}^{ - 11}}){{.10}^2}}}{2} = {10^{ - 9}}(J)\)

Ta có:

+ Năng lượng của tụ điện: \(W = \frac{1}{2}C{U^2} = \frac{1}{2}({6.10^{ - 6}}){100^2} = 0,03J\)

+ Khi tụ phóng điện qua lớp điện môi thì lớp điện môi nóng lên. Khi hết hẳn điện tích thì toàn bộ năng lượng của tụ chuyển hết thành nhiệt, do đó nhiệt lượng tỏa ra ở điện môi chính bằng năng lượng của tụ điện:

\({Q_{toa}} = {\rm{W}} = 0,03J\)

Ta có:

+ Điện dung của bộ 5 tụ nối tiếp:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{C_b}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + \frac{1}{{{C_3}}} + \frac{1}{{{C_4}}} + \frac{1}{{{C_5}}} = \frac{5}{C}\\ \to {C_b} = \frac{C}{5} = \frac{{0,2}}{5} = 0,04\mu F\end{array}\)

+ Năng lượng của bộ tụ: \({\rm{W}} = \frac{1}{2}{C_b}{U^2} \to U = \sqrt {\frac{{2{\rm{W}}}}{{{C_b}}}}  = \sqrt {\frac{{2.0,{{2.10}^{ - 3}}}}{{0,{{04.10}^{ - 6}}}}}  = 100V\)

Vì 5 tụ mắc nối tiếp, nên:

\(\begin{array}{l}U = {U_1} + {U_2} + {U_3} + {U_4} + {U_5} = 5{U_1}\\ \to {U_1} = \frac{U}{5} = \frac{{100}}{5} = 20V\end{array}\)

+ Năng lượng toàn phần : \({W_0} = \frac{1}{2}C{U^2}\)

=> Năng lượng có ích: \({W_{ich}} = H{{\rm{W}}_0}\)

+ Công suất trung bình mỗi xung: \(P = \frac{{{{\rm{W}}_{ich}}}}{t} = \frac{{H{{\rm{W}}_0}}}{t} = \frac{{HC{U^2}}}{{2t}} = \frac{{0,{{04.10}^{ - 3}}.{{(1,{{5.10}^3})}^2}}}{{{{2.2.10}^{ - 6}}}} = 22,5M{\rm{W}}\)

Ta có các tụ mắc nối tiếp,

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{C_b}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + ... + \frac{1}{{{C_n}}}\\ = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1,5}} + \frac{1}{3} = 2\\ \to {C_b} = 0,5\mu F\end{array}\)

Ta có

+ Tụ mắc song song nên:

• Điện dung của bộ tụ: \({C_b} = {C_1} + {C_2} = 3 + 2 = 5\mu F\)
• Hiệu điện thế: \({U_1} = {U_2} = {U_{AB}} = 25V\)

+ Điện tích của tụ :  \({Q_1} = {C_1}{U_1} = {3.10^{ - 6}}.25 = 75\mu C\)

+ Vì tụ  và mắc nối tiếp nên: \({\frac{1}{C}_{23}} = \frac{1}{{{C_2}}} + \frac{1}{{{C_3}}} \to {C_{23}} = \frac{{{C_2}{C_3}}}{{{C_2} + {C_3}}} = 0,75\mu F\)

+ Điện dung của bộ tụ: \({C_b} = {C_1} + {C_{23}} = 1\mu F\)  

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}{U_1} = {U_{23}} = {U_{AB}} = 12V\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{Q_1} = {C_1}{U_1} = {3.10^{ - 6}}C\\{Q_{23}} = {C_{23}}{U_{23}} = {9.10^{ - 6}}C\end{array} \right.\end{array}\)

+ Lại có:

\({Q_2} = {Q_3} = {9.10^{ - 6}}C \to {U_3} = \frac{{{Q_3}}}{{{C_3}}} = 3V\)

Từ mạch điện suy ra: \(\left[ {\left( {{C_2}{\rm{ nt }}{C_3}} \right){\rm{//}}{C_4}} \right]{\rm{ nt }}{C_1}\)

Ta có: \({C_{23}} = \frac{{{C_2}{C_3}}}{{{C_2} + {C_3}}} = 2\mu F\)

\(\begin{array}{l} \to {C_{234}} = {C_{23}} + {C_4} = 3\mu F\\ \to {C_b} = \frac{{{C_1}{C_{234}}}}{{{C_1} + {C_{234}}}} = 2\mu F\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}Q = {Q_1} = {Q_{234}} = 1,{2.10^{ - 4}}C\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \frac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} = 20V\\{U_{234}} = U - {U_1} = 40V\end{array} \right.\end{array}\)

Mặt khác, ta có: \({U_4} = {U_{24}} = {U_{234}} = 40V\)  

+ Lúc đầu:

\(\begin{array}{l}{C_b} = {C_1} + {C_2} = 0,2 + 0,4 = 0,6\mu F\\ \to {Q_b} = {C_b}U = 0,{6.10^{ - 6}}.450 = 2,{7.10^{ - 4}}C\end{array}\)

+ Lúc sau:

\(\begin{array}{l}{C_2}' = \varepsilon {C_2} = 2.0,4 = 0,8\mu F\\ \to {C_b}' = {C_1} + {C_2}' = 0,2 + 0,8 = 1\mu F\end{array}\)

+ Vì ngắt tụ ra khỏi nguồn thì  $Q$ không đổi nên ta có:

\(U' = \frac{Q}{{{C_b}'}} = \frac{{2,{{7.10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 6}}}} = 270V\)

+ Các tụ mắc song song nên: \({U_1}' = {U_2}' = U' = 270V\)

+ Điện tích mới trên tụ : \({Q_1} = {C_1}{U_1}' = 0,{2.10^{ - 6}}.270 = 5,{4.10^{ - 5}}C\)

Vì các tụ mắc nối tiếp nên:

\(\frac{1}{{{C_b}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + \frac{1}{{{C_3}}} \to {C_b} = \frac{{11}}{{12}}\mu F\)

\({Q_1} = {Q_2} = {Q_3} = {C_b}U = \frac{{12}}{{11}}U(\mu C)\)  

Hiệu điện thế trên các tụ là: \(\left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \frac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} = \frac{{6U}}{{11}}\\{U_2} = \frac{{{Q_2}}}{{{C_2}}} = \frac{{3U}}{{11}}\\{U_3} = \frac{{{Q_3}}}{{{C_3}}} = \frac{{2U}}{{11}}\end{array} \right.\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{U_1} \le {U_{gh}}\\{U_2} \le {U_{gh}}\\{U_3} \le {U_{gh}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{{6U}}{{11}} \le 3000\\\frac{{3U}}{{11}} \le 3000\\\frac{{2U}}{{11}} \le 3000\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}U \le 5500V\\U \le 11000V\\U \le 16500V\end{array} \right. \to U \le 5500V\end{array}\)

- Cách giải nhanh:

Vì \(U = \frac{Q}{C}\), mà \({C_1} < {C_2} < {C_3}\) nên \({U_1} > {U_2} > {U_3}\) nên điều kiện để cho bộ tụ tồn tại là hiệu điện thế thành phần lớn nhất cũng phải nhỏ hơn hiệu điện thế giới hạn.

Do đó,

\(\begin{array}{l}{U_1} \le {U_{gh}} \leftrightarrow \frac{{{Q_1}}}{{{C_1}}} \le 3000\\ \leftrightarrow \frac{1}{{{C_1}}}\frac{{12}}{{11}}U \le 3000\\ \to U \le 5500V\end{array}\)

Ta có :

\(Q = C.U \Rightarrow Q \sim C\)

Do đó :  

\(U' = \frac{{Q'}}{Q}.U = \frac{2}{{10}}.2 = 0,4V = 400mV\)

Đáp án A

+ Lúc đầu:\(qE = mg \Leftrightarrow q{U \over d} = mg(1)\)

+ Sau khi hiệu điện thế giảm bớt ΔU = 60 V thì:\(mg - q\left( {{{U - \Delta U} \over d}} \right) = ma(2)\)

+ Thay (1) vào (2) ta có:

\(\left( {{{q\Delta U} \over d}} \right) = ma\buildrel {(1)} \over
\longrightarrow {{\Delta U} \over U} = {a \over g} = > a = {{\Delta U} \over U}g = 2(m/{s^2})\)

+ Thời gian rơi của hạt bụi: \(h = {1 \over 2}a{t^2} =  > t = \sqrt {{{2h} \over a}}  = \sqrt {{{2.0,{{8.10}^{ - 2}}} \over 2}}  = 0,09(s)\)=> Chọn A

Ta có: \(C = \dfrac{Q}{U} = \dfrac{{{{24.10}^{ - 4}}}}{{120}} = {2.10^{ - 5}}F = 20\mu F\)

Điện tích của tụ điện là: 

\(Q = CU = {200.10^{ - 12}}.4 = {8.10^{ - 10}}C\)

Chọn gốc tọa độ O tại vị trí hạt bụi bắt đầu chuyển động, gốc thời gian là lúc hạt bụi bắt đầu chuyển động. Chiều dương Ox như hình vẽ.

Lực điện trường tác dụng lên hạt bụi là:

\(\overrightarrow F  = q\overrightarrow E  = m\overrightarrow a \)

Chiếu lên chiều dương Ox ta  được:

\(F = qE = ma \Rightarrow a = \dfrac{{qE}}{m} = \dfrac{{qU}}{{m{\rm{d}}}}\)

Phương trình chuyển động của hạt bụi có dạng:

\(x = {x_0} + {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}a{t^2}\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{qU}}{{m{\rm{d}}}}} \right){t^2} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{{5.10}^{ - 5}}.500}}{{0,{{02.10}^{ - 3}}.0,05}}} \right){t^2} = 1,{25.10^4}{t^2}\)

Khi hạt bụi đến bản âm, tức là:

\(\begin{array}{l}x = d = {5.10^{ - 2}} \Leftrightarrow 1,{25.10^4}{t^2} = {5.10^{ - 2}}\\ \Rightarrow t = {2.10^{ - 3}}s\end{array}\)

Vận tốc tại bản âm:

\({v^2} - v_0^2 = 2{\rm{a}}.d \Rightarrow v = \sqrt {2{\rm{ad}}}  = 50m/s\)

Vậy t = 2.10^-3 s và v = 50 m/s.

Ta có:

\(C = \dfrac{{\varepsilon S}}{{4\pi k{\rm{d}}}} = {5.10^{ - 9}}F\)

\({U_{\max }} = {E_{\max }}.d = {3.10^5}{.2.10^{ - 3}} = 600V\)

Điện tích lớn nhất có thể tích cho tụ là:

\({Q_{\max }} = C.{U_{\max }} = {5.10^{ - 9}}.600 = {3.10^{ - 6}}C\)