Bài tập Công của lực điện - Hiệu điện thế

Ta có,

+ \({U_{AC}} = \dfrac{{{A_{AC}}}}{q} = E.AC.cos{90^0} = 0V\)

+ \({U_{BA}} = {U_{BC}} + {U_{CA}} = {U_{BC}} = 400V\)

Cường độ điện trường: \(E = \dfrac{{{U_{BC}}}}{{BC\cos \alpha }} = \dfrac{{400}}{{0,1.cos{{60}^0}}} = 8000V/m\)

Ta có, điện thế tại điểm M trong điện trường của điện tích điểm là:

\({V_M} = \dfrac{{{{\rm{W}}_M}}}{q} = \dfrac{{ - {{32.10}^{ - 19}}}}{{ - 1,{{6.10}^{ - 19}}}} = 20V\)

Mốc điện thế tại \(A{\rm{ }} =  > {\rm{ }}{V_A} = {\rm{ }}0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{U_{AB}} = {\rm{ }}{E_1}.{d_1} = {\rm{ }}{V_A} - {\rm{ }}{V_B}\\ \Rightarrow {V_B} = {\rm{ }}{{\rm{V}}_A} - {E_1}.{d_1} = 0 - {2.10^4}.0,03 =  - 600V\end{array}\\\begin{array}{l}{U_{CB}} = {\rm{ }}{E_2}.{d_2} = {\rm{ }}{V_C} - {\rm{ }}{V_B}\\ \Rightarrow {V_C} = {E_2}.{d_2} + {V_B} = {4.10^4}.0,06{\rm{ }} - 600 = 1800V\end{array}\end{array}\)

Ta có,

+ Điện trường hướng từ bản dương sang bản âm => hạt mang điện dương sẽ chuyển động từ bản dương sang bản âm.

+ Công của lực điện trường khi hạt di chuyển từ bản dương sang âm.

\(A = qEd = 1,{5.10^{ - 2}}.3000.0,02 = 0,9J\)

+ Khi electron di chuyển từ bản dương đến bản âm thì chịu tác dụng của ngoại lực là lực điện trường nên theo định lí động năng, ta có:

\({{\rm{W}}_{{d_2}}} - {{\rm{W}}_{{d_1}}} = {A_{ngoailuc}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}m{v^2} = 0 = qEd\\ \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{2qEd}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{2.1,{{5.10}^{ - 2}}.3000.0,02}}{{4,{{5.10}^{ - 9}}}}}  = 20000m/s = {2.10^4}m/s\end{array}\)

Ta có,

+ các lực tác dụng lên hạt bụi gồm: trọng lực \(\overrightarrow P \), lực điện \(\overrightarrow F \)

+ Điều kiện cân bằng của hạt bụi: \(\overrightarrow F  + \overrightarrow P  = \overrightarrow 0 \)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}F = P \Leftrightarrow qE = mg\\ \Rightarrow q = \dfrac{{mg}}{E}\end{array}\)

+ Lại có: \(U = E.d \Rightarrow E = \dfrac{U}{d}\)

Ta suy ra: \(q = \dfrac{{mgd}}{U} = \dfrac{{{{10}^{ - 8}}{{.10}^{ - 3}}.9,8.0,05}}{{500}} = 9,{8.10^{ - 15}}C\) 

Các lực tác dụng lên hạt bụi gồm: Trọng lực \(\overrightarrow P \) , lực điện \(\overrightarrow F \)

+ Điều kiện cân bằng của hạt bụi: \(\overrightarrow F  + \overrightarrow P  = 0 \to F = P \leftrightarrow qE = mg \to q = \dfrac{{mg}}{E}\)

Mặt khác: \(E = \dfrac{U}{d} \to q = \dfrac{{mg}}{{\dfrac{U}{d}}} = \dfrac{{mgd}}{U}\)

Áp dụng cho lúc đầu và lúc sau, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{q_1} = \dfrac{{mg{\rm{d}}}}{U}\\{q_2} = \dfrac{{mg{\rm{d}}}}{{U + \Delta U}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \to \Delta q = {q_1} - {q_2} = mg{\rm{d}}\left( {\dfrac{1}{U} - \dfrac{1}{{U + \Delta U}}} \right)\\ = {10^{ - 6}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{.10}}{\rm{.0,04}}{\rm{.}}\left( {\dfrac{1}{{206,2}} - \dfrac{1}{{206,2 + 24}}} \right) = 2,{02.10^{ - 13}}C\end{array}\)

Các lực tác dụng lên quả cầu gồm: Trọng lực \(\overrightarrow P \) , lực điện \(\overrightarrow F \)

+ Điều kiện cân bằng của quả cầu: \(\overrightarrow F  + \overrightarrow P  = 0 \to F = P \leftrightarrow qE = mg \to q = \dfrac{{mg}}{E}\)

Mặt khác: \(E = \dfrac{U}{d} \to q = \dfrac{{mg}}{{\dfrac{U}{d}}} = \dfrac{{mgd}}{U}\) (1)

Sau khi giảm hiệu điện thế giữa hai bản tụ thì hạt bụi chuyển động biến đổi đều nên theo định luật II-Newtơn ta có:  \(\overrightarrow {F'}  + \overrightarrow P  = m\overrightarrow a \) (*)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động (hướng xuống), chiếu (*) ta được:

\(P - F' = ma \leftrightarrow mg - qE' = ma \leftrightarrow mg - q\dfrac{{U - \Delta U}}{d} = ma\) (2)

Thế (1) vào (2), ta được: \(a = g - g\left( {\dfrac{{U - \Delta U}}{U}} \right) = \dfrac{{3g}}{{20}} = \dfrac{3}{2}\left( {m/{s^2}} \right)\)

Mặt khác, ta có: \(s = d = \dfrac{1}{2}a{t^2} \to t = \sqrt {\dfrac{{2{\rm{d}}}}{a}}  = \sqrt {\dfrac{{2.0,002}}{{\dfrac{3}{2}}}}  = 0,052{\rm{s}}\)

Khi điện tích q di chuyển từ vô cùng về M thì nó chịu tác dụng của lực do tay tác dụng và lực điện (do điện trường của quả cầu gây ra)

Gọi A - công của lực điện trường của quả cầu sinh ra khi di chuyển q

Ta có: \(A =  - A' =  - {2.10^{ - 7}}J\)

Mặt khác, ta có: \(A = q({V_\infty } - {V_M}) =  - q{V_M}\)

=> điện thế do quả cầu sinh ra là \({V_M} = \dfrac{A}{{ - q}} = \dfrac{{ - {{2.10}^{ - 7}}}}{{ - {{10}^{ - 9}}}} = 200V\)

Gọi Q là điện tích quả cầu, điện thế tại M:

\(\begin{array}{l}{V_M} = k\dfrac{Q}{{{r_M}}}\\ \to Q = \dfrac{{{V_M}{r_M}}}{k} = \dfrac{{200.0,3}}{{{{9.10}^9}}} = \dfrac{{20}}{3}{.10^{ - 9}}C\end{array}\)

Vậy điện thế do quả cầu gây ra tại bề mặt quả cầu là: \({V_0} = k\dfrac{Q}{{{r_0}}} = {9.10^9}\dfrac{{\dfrac{{20}}{3}{{.10}^{ - 9}}}}{{0,05}} = 1200V\)

Để hai hạt proton lại gần nhau hơn, ta có thể để một hạt proton đứng yên, còn proton kia di chuyển từ A đến B.

Gọi O là vị trí của proton đứng yên, A là vị trí ban đầu của proton cần di chuyển, B là vị trí lúc sau khi di chuyển của proton đó.

Ta có: \(OA = 2cm = 0,02m;OB = 0,5mm = {5.10^{ - 4}}m\)

Điện thế do proton đứng yên tại O gây ra tại A và B là:

       + Tại A: \({V_A} = k\dfrac{q}{{{r_A}}} = {9.10^9}\dfrac{{1,{{6.10}^{ - 19}}}}{{0,02}} = 7,{2.10^{ - 8}}V\)

       + Tại B: \({V_B} = k\dfrac{q}{{{r_B}}} = {9.10^9}\dfrac{{1,{{6.10}^{ - 19}}}}{{{{5.10}^{ - 4}}}} = 2,{88.10^{ - 6}}V\)

Công của lực điện trường khi proton thứ hai di chuyển từ A đến B là:

\(A = q({V_A} - {V_B}) = 1,{6.10^{ - 19}}(7,{2.10^{ - 8}} - 2,{88.10^{ - 6}}) =  - 4,{4928.10^{ - 25}}J\)

Công của điện trường là công cản

=> Công cần thiết để di chuyển proton từ A đến B là: \(A' =  - A = 4,{4928.10^{ - 25}}J\)

Do \({q_1}.{q_2} > {\rm{ }}0\) nên vị trí điểm M có cường độ điện trường tổng hợp bằng 0 nằm trong khoảng giữa \({q_1}\) và \({q_2}\).

Gọi x là khoảng cách từ vị trí điểm M đến điện tích \({q_1}\)

Ta có, tại M cường độ điện trường tổng hợp bằng 0, nên ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = 0\\ \to {E_1} = {E_2}\\ \leftrightarrow k\dfrac{{{q_1}}}{{{x^2}}} = k\dfrac{{{q_2}}}{{{{(a - x)}^2}}}\\ \leftrightarrow a - x = 2{\rm{x}}\\ \to x = \dfrac{a}{3} = 1cm = 0,01m\end{array}\)

Điện thế tại M:

\(\begin{array}{l}{V_M} = {V_{1M}} + {V_{2M}} = k\dfrac{{{q_1}}}{x} + k\dfrac{{{q_2}}}{{a - x}}\\ = {9.10^9}(\dfrac{{{{10}^{ - 9}}}}{{0,01}} + \dfrac{{{{2.10}^{ - 9}}}}{{0,03 - 0,01}}) = 1800V\end{array}\)

Thế năng tĩnh điện của hai điện tích: \({{\rm{W}}_t} = k\dfrac{{{q_1}{q_2}}}{r} = {9.10^9}\dfrac{{0,{{3.10}^{ - 6}}.( - 0,{{6.10}^{ - 6}})}}{{0,04}} =  - 0,0405J\)

Ta có:

+ Lúc đầu năng lượng của hệ là thế năng tương tác tĩnh điện: \({{\rm{W}}_1} = k\dfrac{{{e^2}}}{r}\)

+ Khi nó vừa thoát ra thì có vận tốc v, lúc này nó không chịu lực hút của proton nên lúc này hệ không còn thế năng tương tác mà chỉ có động năng: \({{\rm{W}}_2} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2} \leftrightarrow k\dfrac{{{e^2}}}{r} = \dfrac{1}{2}m{v_0}^2\\ \to {v_0} = \sqrt {k\dfrac{{2{{\rm{e}}^2}}}{{m{\rm{r}}}}}  = \sqrt {{{9.10}^9}\dfrac{{2.{{\left( {1,{{6.10}^{ - 19}}} \right)}^2}}}{{9,{{1.10}^{ - 31}}.2,{{12.10}^{ - 10}}}}}  = 1,{545.10^6}m/s\end{array}\)

Hiệu điện thế giữa A và B: \({U_{AB}} = E.{d_{AB}} = 1000.0,05 = 50V\)

Ta có:

\({U_{CA}} =  - AC.E.\cos \alpha  =  - AC.E.\dfrac{{BC}}{{CA}} =  - 0,05.2500.\dfrac{{0,03}}{{0,05}} =  - 75V\)

 Ta có, công của lực điện tác dụng lên điện tích dịch chuyển trong điện trường: \(A = qEd = {4.10^{ - 6}}.1000.1 = {4.10^{ - 3}}J = 4mJ\)

Ta có:

Khi dịch chuyển theo chiều đường sức:

\(A = qU = 20J\)

Khi dịch chuyển theo hướng tạo với hướng đường sức 60⁰ thì:

\(A = qU.\cos 60 = 20.\frac{1}{2} = 10J\)

Ta có,

+ Khi cường độ điện trường \({E_1} = 3000V/m\) thì \({A_1} = 90mJ\)

+ Khi cường độ điện trường \({E_2} = 4000V/m\) thì \({A_2} = ?\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{A_1} = q{E_1}d\\{A_2} = q{E_2}d\end{array} \right.\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \dfrac{{3000}}{{4000}} = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow {A_2} = \dfrac{4}{3}{A_1} = \dfrac{4}{3}.90 = 120mJ\end{array}\)

Ta có,

+ Công của lực điện: \(A = qEd =  - e.Ed = \Delta {\rm{W}}\)  (1)

+ Theo định lí bảo toàn cơ năng, ta có: \(\Delta {\rm{W}} = {{\rm{W}}_s} - {{\rm{W}}_t} = 0 - \dfrac{1}{2}m{v^2}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(A =  - eEd = 0 - \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

\( \Rightarrow d = \dfrac{{m{v^2}}}{{2Ee}} = \dfrac{{9,{{1.10}^{ - 31}}.{{\left( {{{3.10}^5}} \right)}^2}}}{{2.200.1,{{6.10}^{ - 19}}}} = 1,{28.10^{ - 3}}m = 1,28mm\)

Ta có: ${A_{MN}} = q.E.\overline {M'N'} $

vì A_MN > 0; q < 0; E > 0 nên $\overline {M'N'}  < 0$tức là e đi ngược chiều đường sức.

Cường độ điện trường:

\(E = \frac{{{A_{MN}}}}{{q.\overline {M'N'} }} = \frac{{9,{{6.10}^{ - 18}}}}{{\left( { - 1,{{6.10}^{ - 19}}} \right).\left( { - 0,006} \right)}} = {10^4}(V/m)\)

Ta có:

+ Công điện trường thực hiện proton dịch chuyển từ M đến N.

\({A_1} = {q_p}.U_{MN}^{} = 1,{6.10^{ - 19}}.100 = 1,{6.10^{ - 17}}J\) J

+ Công điện trường thực hiện electron dịch chuyển từ M đến N.

\({A_2} = {q_e}.U_{MN}^{} =  - 1,{6.10^{ - 19}}.100 =  - 1,{6.10^{ - 17}}\,J\)