Hàm số logarit

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

Câu 21 Trắc nghiệm

Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên:

Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}.\) Biết rằng \({x_2} = 2{x_1},\) giá trị của \(\dfrac{a}{b}\) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \({x_1}\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}.\)

Và \({x_2}\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}.\)

Theo đề bài ta có: \({x_2} = 2{x_1} \Rightarrow {a^3} = 2{b^3} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \sqrt[3]{2}.\)

Câu 22 Trắc nghiệm

Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{e }{3}}}\left( {x - 1} \right)\) có TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) và \(a = \frac{e }{3} < 1\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Câu 23 Trắc nghiệm

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {\log _{2020}}\left( {mx - m + 2} \right)\) xác định trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

ĐKXĐ: \(mx - m + 2 > 0 \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right) >  - 2\)

Để hàm số xác định trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) thì \(m\left( {x - 1} \right) >  - 2\,\,(*),\,\,\forall x \ge 1\)

+) \(x = 1 \Rightarrow \) (*) \( \Leftrightarrow 0m >  - 2\) đúng với mọi m

+) \(x > 1 \Rightarrow \) (*) \( \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\), \(\forall x > 1\) (2*).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\forall x > 1\)ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow m \ge 0\).

Vậy để hàm số \(y = {\log _{2020}}\left( {mx - m + 2} \right)\) xác định trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) thì \(m \ge 0\).

Câu 24 Trắc nghiệm

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đối xứng với đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\) qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Giá trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(x = 2 + {\log _a}\dfrac{1}{{2020}}\) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Lấy điểm \(A\left( {{x_0};{a^{{x_0}}}} \right) \in \left( {{C_1}} \right)\) (đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\). Gọi B là điểm đối xứng của A qua M(1;1).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 2 - {x_0}\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} = 2 - {a^{{x_0}}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_0} = 2 - {x_B} \Rightarrow {y_B} = 2 - {a^{2 - {x_B}}}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right) = 2 - {a^{2 - x}}\)

\( \Rightarrow f\left( {2 + {{\log }_a}\dfrac{1}{{2020}}} \right) = 2 - {a^{2 - \left( {2 + {{\log }_a}\dfrac{1}{{2020}}} \right)}}\)\( = 2 - {a^{{{\log }_a}20220}} = 2 - 2020 =  - 2018\).

Câu 25 Trắc nghiệm

Cho \(a\) và \(b\) là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị \(y = {\log _a}x,\,\,y = {\log _b}x\) và trục hoành lần lượt tại \(A,\,\,B\) và \(H\) phân biệt ta đều có \(3HA = 4HB\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi \(H\left( {{x_0};0} \right)\,\,\left( {{x_0} > 1} \right)\) ta có: \(A\left( {{x_0};{{\log }_a}{x_0}} \right);\,\,B\left( {{x_0};{{\log }_b}{x_0}} \right)\).

\( \Rightarrow HA = {\log _a}{x_0}\); \(HB =  - {\log _b}{x_0}\) (do \({\log _a}{x_0} > 0,\,\,{\log _b}{x_0} < 0\)).

Theo bài ra ta có: \(3HA = 4HB\)\( \Leftrightarrow 3{\log _a}{x_0} =  - 4{\log _b}{x_0}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\log _a}{x_0} + 4{\log _b}{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\log }_{{x_0}}}a}} + \dfrac{4}{{{{\log }_{{x_0}}}b}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\log }_{{x_0}}}b + 4{{\log }_{{x_0}}}a}}{{{{\log }_{{x_0}}}b.{{\log }_{{x_0}}}a}} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _{{x_0}}}{b^3} + {\log _{{x_0}}}{a^4} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _{{x_0}}}{a^4}{b^3} = 0\\ \Leftrightarrow {a^4}{b^3} = 1\end{array}\)

Câu 26 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + m} \right)\) có \(f'\left( { - \ln 2} \right) = \frac{3}{2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có:  \(f\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + m} \right)\)

Điều kiện: \({e^x} + m > 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + m}}\\ \Rightarrow f'\left( { - \ln 2} \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{{e^{ - \ln 2}}}}{{{e^{ - \ln 2}} + m}} = \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2.{e^{ - \ln 2}} = 3.{e^{ - \ln 2}} + 3m\\ \Leftrightarrow {2.2^{ - \ln e}} = {3.2^{ - \ln e}} + 3m\\ \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2} - 3.\frac{1}{2} = 3m\\ \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{6}.\\ \Rightarrow m \in \left( { - 2;\,\,0} \right).\end{array}\)

Câu 27 Trắc nghiệm

Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\dfrac{a}{b}\)

\( \Leftrightarrow P = 4\log _{\frac{a}{b}}^2a + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow P = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1} \right)\) 

Đặt \({\log _a}b = t \Rightarrow 0 < t < 1\) . Khi đó \(P = \dfrac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{t} - 3\)

\(P' = \dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} - \dfrac{3}{{{t^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow 3{t^3} - {t^2} + 9t - 3 = 0\)  \( \Rightarrow t = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 15\).

Câu 28 Trắc nghiệm

Cho hai hàm số \(y = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right|\) và \(y = \dfrac{3}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} + 4m - 2020\). Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

ĐKXĐ: \(x \ne 0,\,\,x \ne 2\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| = \dfrac{3}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} + 4m - 2020\\ \Leftrightarrow \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| - \dfrac{3}{{x - 2}} + \dfrac{1}{x} = 4m - 2020\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| - \dfrac{3}{{x - 2}} + \dfrac{1}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^2}}}:\dfrac{{x - 2}}{x} + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {x - 2} \right) + 3{x^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 3{x^2} - {x^2} + 4x - 4}}{{{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^2} - 4}}{{{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left[ \begin{array}{l}4m - 2020 = 0\\4m - 2020 = \ln 3\\4m - 2020 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 505\\m = \dfrac{{2020 + \ln 3}}{4} \notin \mathbb{Z}\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 506\end{array} \right.\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(505 + 506 = 1011\).

Câu 29 Trắc nghiệm

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Điều kiện : $x + y >0, x – y > 0$

\({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\)

Ta có: $P = 2x - y = \dfrac{{x + y + 3(x - y)}}{2} \ge \sqrt {(x + y).3(x - y)}  = \sqrt {3({x^2} - {y^2})}  = \sqrt {3.4}  = 2\sqrt 3 $

Dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\{x^2} - {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\3{\left( {x - y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x + y = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 \\y = \sqrt 3  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

Vậy   $Min\,P = 2\sqrt 3 $.