Câu hỏi:
2 năm trước
Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\dfrac{a}{b}\)
\( \Leftrightarrow P = 4\log _{\frac{a}{b}}^2a + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow P = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1} \right)\)
Đặt \({\log _a}b = t \Rightarrow 0 < t < 1\) . Khi đó \(P = \dfrac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{t} - 3\)
\(P' = \dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} - \dfrac{3}{{{t^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow 3{t^3} - {t^2} + 9t - 3 = 0\) \( \Rightarrow t = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow {P_{\min }} = 15\).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng các tính chất của hàm logarit.
