Bài toán tương giao đồ thị

Đặt \(t = 3x + 1\).

Dễ thấy với mỗi \(x\) chỉ có một \(x\) và ngược lại.

Do đó số nghiệm \(x\) của phương trình đã cho bằng số nghiệm \(t\) của phương trình \(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

Ta có:

\(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) - 2 = 5\\f\left( t \right) - 2 =  - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = 7\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng \(y = 7\) cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng \(y =  - 3\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} + mx - x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) > 0\\1 + \left( {m - 3} \right).1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra \(m \in \left[ { - 2020; - 1} \right) \cup \left( {3;2020} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - f\left( x \right) = 1\\1 - f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Đặt \(t = 3 - {x^2}\), ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t = 3 - {x^2} \le 3,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;3} \right].\) 

Bất phương trình \(f\left( {3 - {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với mọi \(t \in \left( { - \infty ;3} \right].\)

Từ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với \(t \in \left( { - \infty ;3} \right]\) khi \(m > 3\).

Vậy \(m > 3\).

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ; > 0\\0 + 2m.0 + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\) .

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là \(2\) nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right).\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC.\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 4 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\).

Vì \(B,\,\,C\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có: \(d\left( {K,BC} \right) = d\left( {K;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + 4 - {x_1} - 4} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \\BC = 2\sqrt 2 .\sqrt {{m^2} - m - 2} \end{array}\) 

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 2 \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\).

Số nghiệm của pt $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$(*) số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ và đường thẳng $y = m$.

Ta có đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ như hình vẽ:           

Để pt $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng  cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  m = 0 \hfill \\  1 < m < 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Ta có: \( - 1 < \cos x \le 0\,\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\), khi đó dựa vào đồ thị hàm số ta có \(0 \le f\left( {\cos x} \right) < 2\).

\( \Leftrightarrow 0 \le 2f\left( {\cos x} \right) < 4 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {2f\left( {\cos x} \right)}  < 2\).

Đặt \(t = \sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} \) \( \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right)\).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;2} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với \(t \in \left[ {0;2} \right)\) thì \(f\left( t \right) \in \left[ { - 2;2} \right)\), do đó phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \( - 2 - 1 + 0 + 1 =  - 2\).

Ta có \({f^2}\left( x \right) - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left| {f\left( x \right)} \right|^2} - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\\
\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2
\end{array} \right.$

Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) ta được:

Dễ thấy phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\) có \(4\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) nên để phương trình đã cho có \(6\) nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2\) phải có \(2\) nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên.

Do đó đường thẳng \(y = m + 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) tại \(2\) điểm phân biệt.

Từ hình vẽ ta có \(\left[ \begin{array}{l}m + 2 > 4\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 2;3;4} \right\}\).

Vậy có \(3\) giá trị thỏa mãn.

Ta có:

\(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2f\left( x \right) + m} \right| =  - 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {2f\left( x \right) + m} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (2) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2f\left( x \right) + m = 2\\2f\left( x \right) + m =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{2 - m}}{2}\\f\left( x \right) = \dfrac{{ - 2 - m}}{2}\end{array} \right.\).

Dựa vào BBT trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), để phương trình \(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1\) có đúng 2 nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 \le \dfrac{{2 - m}}{2} \le 1\\ - 3 \le \dfrac{{ - 2 - m}}{2} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 8\\ - 4 \le m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\). Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Số nghiệm của pt $2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right|$ và đường thẳng $y = m$.

Ta có đồ thị hàm số $y = 2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right|$:

Pt $2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ có $6$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = 2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right|$ tại $6$ điểm phân biệt $ \Leftrightarrow 4 < m < 5$.

Ta có: \(\left| {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {f\left( x \right)} \right) = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( {f\left( x \right)} \right) =  - 2\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a <  - 4\,\,\,\left( {1.1} \right)\\f\left( x \right) = b > 3\,\,\,\,\,\,\,\left( {1.2} \right)\end{array} \right.\), \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.1} \right)\\f\left( x \right) = c \in \left( {1;3} \right)\,\,\,\left( {2.2} \right)\\f\left( x \right) = d > 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.3} \right)\end{array} \right.\)

Tiếp tục dựa vào BBT ta có:

- Phương trình (1.1) có 0 nghiệm.

- Phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2.1) có 1 nghiệm.

- Phương trình (2.2) có 2 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2.3) có 2 nghiệm phân biệt.

Rõ ràng 7 nghiệm trên là phân biệt.

Vậy phương trình \(\left| {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| = 2\) có 7 nghiệm phân biệt.

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} - 3\)  cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)

Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y =  - 3\).

Bước 1: Đặt \(t = {x^2} - 1\) \( \Rightarrow t \ge  - 1\). Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn \(t\).

Đặt \(t = {x^2} - 1\) \( \Rightarrow t \ge  - 1\).

Phương trình đã cho trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1,\,\,t \ge  - 1\,\,\,\left( * \right)\).

Bước 2: Biện luận số nghiệm của $x$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng \( - 1\).

Suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm thực \(t\), ứng với mỗi nghiệm \(t\) cho 2 nghiệm thực \(x\).

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực.

Bước 1: Đặt \(t = {x^3} - 3x\), quan sát đồ thị tìm nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = \dfrac{2}{3}\) tìm các nghiệm \({t_i}\).

Ta có :\(\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{2}{3}\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \dfrac{2}{3}\\f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

+) Phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{2}{3}\) có ba nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2},\,\,{t_3}\), trong đó \( - 2 < {t_1} < 0 < {t_2} < 2 < {t_3}\).

+) Phương trình \(f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{3}\) có ba nghiệm phân biệt \({t_4},\,\,{t_5},\,\,{t_6}\), trong đó \({t_4} <  - 2 < 2 < {t_5} < {t_6}\) .

Các nghiệm \({t_1},\,\,{t_2},\,\,{t_3},\,\,{t_4},\,\,{t_5},\,\,{t_6}\) phân biệt.

Bước 2: Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x\) suy ra số nghiệm của phương trình \({x^3} - 3x = {t_i}\).

Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x\) có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

BBT :

Từ BBT ta thấy :

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_1} \in \left( { - 2;0} \right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_2} \in \left( {0;2} \right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_3} > 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_4} <  - 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_5} > 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_6} > 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả \(3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10\) nghiệm.