Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)  và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) là:

Ta có: \( - 1 < \cos x \le 0\,\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\), khi đó dựa vào đồ thị hàm số ta có \(0 \le f\left( {\cos x} \right) < 2\).

\( \Leftrightarrow 0 \le 2f\left( {\cos x} \right) < 4 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {2f\left( {\cos x} \right)}  < 2\).

Đặt \(t = \sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} \) \( \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right)\).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;2} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với \(t \in \left[ {0;2} \right)\) thì \(f\left( t \right) \in \left[ { - 2;2} \right)\), do đó phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \( - 2 - 1 + 0 + 1 =  - 2\).