Nguyên hàm - Định nghĩa và tính chất

Hàm số \(f\left( x \right)\) là đạo hàm của \(F\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay \(\int {f\left( x \right)dx}=F\left( x \right) +C \).

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\).

Quan sát các đáp án ta thấy mỗi hàm số ở đáp án B, C, D đều có đạo hàm bằng \(3{x^4}\).

Chỉ có đáp án A: \(\left( {12{x^3}} \right)' = 36{x^2} \ne 3{x^4}\) nên A sai.

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.

Có \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\) nên A sai.

Ta có: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên A đúng.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + C\) nên A và D đúng.

\(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx =  - \cot x + C} \) nên C đúng, B sai.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx}  =  - \cot x + C;\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C\) nên:$\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx}  + \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  $

$=  - \cot x + \tan x + C = \tan x - \cot x + C$

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  - \cot x + C = F\left( x \right)$

Đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ nên $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=0$

$ \Leftrightarrow - \cot \dfrac{\pi }{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow F\left( x \right) =  - \cot x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: $F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C} $ nên C đúng, A sai.

Do đó các hàm số $y = \ln \left| {x + 2} \right|$ và $y = \ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|$ đều là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nên B, D đúng.

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x + 3{x^3}} \right)dx} \) \( = \int {2xdx}  + \int {3{x^3}dx} \) \( = 2\int {xdx}  + 3\int {{x^3}dx} \) \( = 2.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 3.\dfrac{{{x^4}}}{4} + C\) \( = {x^2} + \dfrac{{3{x^4}}}{4} + C\) \( = {x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C\)

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{2}{x} + C$

Ta có:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{e^{ - 2018x + 2017}}dx}  = \dfrac{1}{{ - 2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + C\)

Với \(x = 1\) thì \( - \dfrac{1}{{2018}}{e^{ - 1}} + C = e \Leftrightarrow C = e + \dfrac{1}{{2018}}{e^{ - 1}}\)

Vậy \(F\left( x \right) =  - \dfrac{1}{{2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + e + \dfrac{1}{{2018e}}\).

Vì \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{4x}}\) nên:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right){e^{4x}} = F'\left( x \right) = 2x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{e^{4x}}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2{e^{4x}} - 8x.{e^{4x}}}}{{{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{2 - 8x}}{{{e^{4x}}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right){e^{4x}} = 2 - 8x\\ \Rightarrow \int {f'\left( x \right){e^{4x}}dx = \int {\left( {2 - 8x} \right)dx =  - 4{x^2} + 2x + C} } \end{array}\)

Bước 1:

Vì \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\\F'\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c + 2ax + b} \right){e^x}\\F'\left( x \right) = \left[ {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x}\\=x^2.e^x\end{array}\)

Bước 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} =  {1.{x^2} + 0.x + 0}\\\left[ {a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x} = {x^2}.{e^x}\\ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = {x^2}\\ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = 1.{x^2} + 0.x + 0\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(P = abc = 1.\left( { - 2} \right).2 =  - 4.\)

Ta có: $F'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x-1 \Rightarrow F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} + 2x-1} \right)dx}  = {x^3} + {x^2} - x + C$

Tại \(x = 0\) thì $y=2$ suy ra \(2 = C \Rightarrow F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x + 2\) và tổng các hệ số của \(F\left( x \right)\) là \(3\).

Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx}  = \int {{x^3}dx} \) \( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C\).

Lại có: \(f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C\) \( \Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}\).

Do đó \( - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}\).

Thay \(x = 1\) ta có \( - \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\). Vậy \(f\left( 1 \right) =  - 1\).

\(\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

Do đó, ta cần biến đổi \(\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{a}{{2x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}}\) để tính được nguyên hàm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{2x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}} = \dfrac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 2\\ - a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{4}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

 Do đó:

\(\int {\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} {\rm{\;}}\)\( = \int {\left[ { - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx} {\rm{\;}}\)\( = {\rm{\;}} - \dfrac{4}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx} {\rm{\;}} + \dfrac{5}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx} \)\( = {\rm{\;}} - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)\( = {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$$ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x}  = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} $

$ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}}  = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}  = \sqrt {{x^2} + 1}  + C$$ \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1}  + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2}{\kern 1pt}  + {\kern 1pt} 1} {\kern 1pt}  + {\kern 1pt} {\kern 1pt} C}}$

Mà $f\left( 0 \right) = e$$ \Rightarrow $${e^{C{\kern 1pt}  + {\kern 1pt} 1}} = e \Rightarrow C = 0.$

Vậy $f\left( {\sqrt 3 } \right) = {e^2}.$

Ta có: \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \)

Tính \(\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} \) ta đặt \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\) \( \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\)

Thay vào ta được \(\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\dfrac{{tdt}}{t}}  = \int {dt}  = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C\)

Do đó \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C = {x^2} + x\).

\(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2  \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 3\).

Từ đó:

\(\begin{array}{l}\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  = 5\\ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \end{array}\)