Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
Do đó, ta cần biến đổi \(\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{a}{{2x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}}\) để tính được nguyên hàm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{2x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}} = \dfrac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 2\\ - a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{4}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó:
\(\int {\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} {\rm{\;}}\)\( = \int {\left[ { - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx} {\rm{\;}}\)\( = {\rm{\;}} - \dfrac{4}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx} {\rm{\;}} + \dfrac{5}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx} \)\( = {\rm{\;}} - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)\( = {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi hàm số đã cho về dạng \(\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{a}{{mx + n}} + \dfrac{{a'}}{{m'x + n'}}\).
- Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).
