Mặt cầu và mặt phẳng

Bước 1: Tính $d((P),(Q))$

Ta thấy $M(1 ; 0 ; 0)$ là một điểm thuộc $(P)$

Vì $(P)//(Q)$ nên $d((P),(Q)) = d(M,(Q))$$= \dfrac{{|2 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4$

Bước 2: Giả sử $I(a ; b ; c)$ là tâm của $(S)$. Chứng minh $I$ luôn thuộc mặt phẳng $(R)$

Giả sử $I(a ; b ; c)$ là tâm của $(S)$. Vì $(S)$ tiếp xúc với cả $(P)$ và $(Q)$ nên bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\dfrac{d((P),(Q))}{2}=\dfrac{4}{2}=2$

Do đó $I A=2$ nên $I$ luôn thuộc mặt cầu $(T)$ tâm $A$, bán kính 2

Ngoài ra, $d(I,(P))=d(I,(Q)) \Leftrightarrow \dfrac{|2 a-b-2 c-2|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{|2 a-b-2 c+10|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}$

$\Leftrightarrow|2 a-b-2 c-2|=|2 a-b-2 c+10|$

$\Leftrightarrow 2 a-b-2 c+4=0 .$

Do đó, $I$ luôn thuộc mặt phẳng $(R): 2 x-y-2 z+4$

Bước 3: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(R)$.Tính HI và tính bán kính $r$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(R)$. Vì $A$,

Ta có $A H=d(A,(R))=\dfrac{|2.1-2-2.1+4|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{2}{3}$

Mà $A H \perp(R) \Rightarrow A H \perp H I$, do đó $\Delta A H I$ vuông tại $H$ nên

$H I=\sqrt{A I^{2}-A H^{2}}=\sqrt{2^{2}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}}=\dfrac{4 \sqrt{2}}{3}$

Vậy $I$ luôn thuộc đường tròn tâm $H$, nằm trên mặt phẳng $(R)$, bán kính $r=\dfrac{4 \sqrt{2}}{3}$