Giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right)$ bằng?
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right)\) \(= \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right).\left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} \) \(= \lim \dfrac{{{n^2} - n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} \) \(= \lim \dfrac{{ - n}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}}\) \(= \lim \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1}}\) \(= \dfrac{{ - 1}}{2} = - \dfrac{1}{2}.\)
Cho cấp số nhân \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}},\forall n \ge 1\). Khi đó:
Ta có: \({u_1} = \dfrac{1}{2};q = \dfrac{1}{2} \Rightarrow S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 1\)
Giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right)$ bằng?
$\begin{array}{l}\lim ( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - \sqrt {{n^2} + 1} } ) \\ =\lim \frac{{( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - \sqrt {{n^2} + 1} }) ( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + \sqrt {{n^2} + 1} } )}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + \sqrt {{n^2} + 1} }}\\ = \lim \frac{{{n^2} - n + 1 - {n^2} - 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + \sqrt {{n^2} + 1} }} \\= \lim \frac{{ - n}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + \sqrt {{n^2} + 1} }} \\= \lim \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} \\= -\frac{{1}}{2}\end{array}$
Cho dãy số $({u_n})$với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
$\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} \\= \dfrac{{2 - 1}}{{1.2}} + \dfrac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \dfrac{{n + 1 - n}}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\\ = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + .... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}} \\= 1 - \dfrac{1}{{n + 1}}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.\end{array}$
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$
Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}}+ ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{2}. \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+ ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) \\ = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}$
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
Ta có: \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{1}{n}.{n^2}} \right) = \lim n = + \infty \).
Giá trị \(\lim \dfrac{{\sin \left( {n!} \right)}}{{{n^2} + 1}}\) bằng
Ta có \(\left| {\dfrac{{\sin \left( {n!} \right)}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \dfrac{1}{{{n^2} + 1}}\) mà \(\lim \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} = 0\) nên chọn đáp án A.
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$ $ = \lim \dfrac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}} $ $= \lim \dfrac{{\dfrac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\dfrac{{{n^3} + 5n - 1}}{{{n^6}}}}}}}$ $=\lim \dfrac{{ - 6 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{n^3}}} + \dfrac{5}{{{n^5}}} - \dfrac{1}{{{n^6}}}}}}} = - \infty .$
Gọi \({\rm{S}}\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q(|q| < 1)\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
\(\begin{array}{l}S = {u_1} + {u_2} + ...\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ...} \right)\\ = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\end{array}\)
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\)
Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$:
* Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$
Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) \) \(= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \)$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $
Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?
Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là \({u_1} \Rightarrow {u_1} = 12.\dfrac{2}{3} = 8\)
\( \Rightarrow {u_2} = \dfrac{2}{3}{u_1};{u_3} = \dfrac{2}{3}{u_2};...;{u_n} = \dfrac{2}{3}{u_{n - 1}};...\)
=> Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 8;q = \dfrac{2}{3}\)
Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là
\(S = 12 + 2{u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + ... + 2{u_n} + ...\)
$=12+2.(u_1+u_2+…)$$=12+2.\dfrac{u_1}{1-q}$
\( = 12 + 2.\dfrac{8}{{1 - \dfrac{2}{3}}} = 60\)
Cho các số thực a, b thỏa \(\left| a \right| < 1;\;\;\left| b \right| < 1\). Tìm giới hạn \(I = \lim \dfrac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\).
Ta có \(1,\;a,\;{a^2},\;...,\;{a^n}\) là một cấp số nhân có công bội \(a\) \( \Rightarrow 1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\)
Tương tự: \(1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}\)
\( \Rightarrow \lim I = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \lim \left( {\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - b}}{{1 - {b^{n + 1}}}}} \right) = \lim \left( {\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}.\dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}} \right) = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\)
(Vì \(\left| a \right| < 1,\;\;\left| b \right| < 1\)\( \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0\)).
Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $0,111111 \ldots$. chu kỳ (1).
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta biểu diễn
\(a = \underbrace {\underbrace {\underbrace {0,1}_{{u_1}}1}_{{u_2}}1}_{{u_3}}... = 0,1 + 0,01 + 0,001 + ...\)\( = \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^3}}} + ...\)
Xét dãy \({u_1} = 0,1;{u_2} = 0,01;{u_3} = 0,001;\)\(...;{u_n} = 0,\underbrace {0...01}_{n\,{\rm{ chữ\, số}}};...\)
Ta thấy dãy trên có:
- Số hạng đầu: $u_{1}=0,1=\dfrac{1}{10}$.
- Số hạng thứ hai \({u_2}=0,01 = \dfrac{1}{{{{10}^2}}} = {u_1}.\dfrac{1}{{10}}\)
- Số hạng thứ n: \({u_n}=0,\underbrace {0...01}_{n\,{\rm{ chữ\, số}}} = \dfrac{1}{{{{10}^n}}} = {u_1}.{\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}\)
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Như vậy $a$ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:
- Số hạng đầu: $u_{1}=\dfrac{1}{10}$.
- Công bội: $q=\dfrac{1}{10}$
Do vậy: $a=\dfrac{u_{1}}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{1}{9}$.
Vậy: $a=\dfrac{1}{9}$.
\(\lim \left( {\dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{{{n^2}}}} \right)\) bằng
Bước 1:
Vì \(\lim \dfrac{1}{n} = 0;\lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Bước 2:
Nên \(\lim \left( {\dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{{{n^2}}}} \right) = 2.0 + 3.0 = 0\)
Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\).
Bước 1:
\(\lim \dfrac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\)\( = \lim \dfrac{{{n^3}\left( { - 3 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {2 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^3}}}} \right)}}\)
Bước 2:
\( = \lim \dfrac{{ - 3 + \dfrac{1}{n}}}{{2 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^3}}}}} = \dfrac{{ - 3 + 0}}{{2 + 0 - 0}} = \dfrac{{ - 3}}{2}\)
\(\lim \dfrac{{n + 1}}{{2n - 3}}\) bằng
Bước 1:
\(\lim \dfrac{{n + 1}}{{2n - 3}} = \lim \dfrac{{n\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 - \dfrac{3}{n}} \right)}}\)\( = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{2 - \dfrac{3}{n}}}\)
Bước 2:
\( = \dfrac{{1 + 0}}{{2 - 0}} = \dfrac{1}{2}\)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\),…, tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\)…. Gọi \(P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\) là chu vi của các tam giác \(ABC,{A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},...,{A_n}{B_n}{C_n},...\)Tìm tổng \(P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\)
Bước 1:
Gọi \({a_n}\) là cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) với n nguyên dương.
Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì \({A_n}{B_n}{C_n}\) bằng \({a_n} = \dfrac{a}{{{2^n}}}\) với mọi số nguyên dương n (*)
Vì \({A_1},{B_1},{C_1}\) là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên \({a_1} = \dfrac{a}{2}\)
Cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh là \(\dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{{{2^1}}}\)
Giả sử (*) đúng với \(n = k\)
Tức là cạnh của tam giác \({A_k}{B_k}{C_k}\) là \({a_k} = \dfrac{a}{{{2^k}}}\)
Ta có \({A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}\) có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác \({A_k}{B_k}{C_k}\) nên có cạnh là \({a_{k + 1}} = \dfrac{{{a_k}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{{2^k}}} = \dfrac{a}{{{2^{k + 1}}}}\)
=> (*) đúng với \(n = k + 1\)
=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
=> Chu vi của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) như giả thiết là \({P_n} = \dfrac{{3a}}{{{2^n}}}\).
Bước 2:
Như vậy \(P = 3a;{P_1} = \dfrac{{3a}}{2};{P_2} = \dfrac{{3a}}{{{2^2}}};...;{P_n} = \dfrac{{3a}}{{{2^n}}};...\)
Dãy số \(\left( {{P_n}} \right)\) gồm \(P,{P_1},{P_2},...\)là cấp số nhân với số hạng đầu là \(P = 3a\), công bội \(q = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow P + {P_1} + {P_2} + ... = \dfrac{{3a}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 6a\)
Cho hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$. Nối bốn trung điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_{2}$. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ có diện tích $S_{3}, \ldots$ Tính tổng $S_{1}+S_{2}+\ldots$ bằng
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta có:
$\mathrm{S}_{1}$$=a^{2}$
$\mathrm{S}_{2}$$=\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}$ $=a^{2} \cdot \dfrac{1}{2}$
$\mathrm{S}_{3}$$=\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$
$\cdots$
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
$=a^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
Có $S_{1} ; S_{2} ; S_{3} ; \ldots$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
- Số hạng đầu: $S_{1}=a^{2}$
- Công bội: $q=\dfrac{1}{2}$
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Do đó: $S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+\ldots=\dfrac{S_{1}}{1-q}=\dfrac{a^{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=2 a^{2}$
Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là $15 \mathrm{~m}^{2}$. Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước $30 \mathrm{x} 30$ $(\mathrm{cm})$. Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là
334 viên gạch
334 viên gạch
334 viên gạch
Bước 1: Gọi $S_{1}$ là diện tích mặt đáy tháp. Biểu diễn diện tích mặt đáy tầng thứ n.
Gọi $S_{1}$ là diện tích mặt đáy tháp. Ta có: $S_{1}=15\left(m^{2}\right)$
Theo yêu cầu khi xây dựng tòa tháp, diên tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:
$S_{2}=\dfrac{1}{2} S_{1}$
$S_{3}=\dfrac{1}{2} S_{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} S_{1} .$
...
$S_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} S_{1} .$
Bước 2: Tính tổng diện tích mặt sàn 11 tầng.
Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là
$S=S_{1}+S_{2}+. .+S_{11}=S_{1} .\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+. .+\dfrac{1}{2^{10}}\right)=15.1 . \dfrac{1-\dfrac{1}{2^{11}}}{1-\dfrac{1}{2}} \approx 29,98\left(m^{2}\right) .$
Bước 3: Tìm số viên gạch
Diện tích mỗi viên gạch là $30.30=900\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)=0,09\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$
Số lượng gạch hoa cần mua là $\dfrac{S}{0,09} \approx 333,17$ (viên).
Vậy cần mua 334 viên gạch