Đề kiểm tra giữa học kì 2 - Đề số 3

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a = 12,$ gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AD.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp có diện tích bằng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Chọn mệnh đề đúng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác cân ở $C$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây sai?

Trong không gian tập hợp các điểm $M$ cách đều hai điểm cố định $A$ và $B$ là

Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ . Khi đó tổng 3 góc $(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) + (\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {D{D_1}} ) + (\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{A_1}B} )$ là:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $L =  - \dfrac{1}{2}$. Chọn kết luận đúng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SC$ và $I$ là giao điểm của $HK$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta$ không nằm trong mp $\left( P \right)$, đường thẳng $\Delta$ được gọi là vuông góc với mp $\left( P \right)$ nếu:

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }}$ là:

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $AC'$ và mp $\left( {A'BCD'} \right).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}$ là:

Trong không gian cho tam giác đều $SAB$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $H,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Cho các dãy số ${u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1$ và ${v_n} = {n^2},n \ge 1$. Khi đó:

Chọn đáp án đúng: Với $c,k$ là các hằng số và $k$ nguyên dương thì:

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$, $BC$, $CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy lớn $AB$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $SA$ và $Q \ne A,$ $Q \ne S$; $M$ là điểm trên đoạn $AD$ và $M \ne A$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $QM$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha  \right)$ với hình chóp đã cho là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$, $AB = 4{,^{}}CD = 6$. $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC = \dfrac{1}{2}BM$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $CD$. Diện tích thiết diện của $\left( P \right)$ với tứ diện là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, các cạnh $SA = SB = a,$ $SD = a\sqrt 2$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${90^0}.$ Độ dài đoạn thẳng $BD$

Cho hàm số $f\left( x \right) =$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng nào sau đây?

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  - x}}{{x - 1}}$ là:

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì $OC \bot OA,OC \bot OB$ nên $OC \bot \left( {OAB} \right)$.

II. Do $AB \subset \left( {OAB} \right)$nên $AB \bot OC.{\rm{      }}\left( 1 \right)$

III. Có $OH \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \subset \left( {ABC} \right)$nên $AB \bot OH.{\rm{       }}\left( 2 \right)$

IV. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $SAB.$ Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Biết rằng $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x  - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ (với $a$ là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị $a$ là đúng?

Cho  cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$, biết:${u_1} =  - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

Giới hạn $\lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}$bằng?

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}$ bằng?

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{{\sqrt b  + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c  + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }}$ lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Tính tổng ${S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11$ (có $10$ chữ số $1$)

Tính giới hạn của dãy số  ${u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1  + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n  + n\sqrt {n + 1} }}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $AD = a\sqrt 3$. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $A$ vuông góc với $SC$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha  \right)$ với hình chóp đã cho.

Giá trị của $C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1}  + n}}$ bằng:

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}}$ bằng?

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x - 1} \right)$ bằng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = SH = a.$ Tính cosin của góc $\alpha$ tọa bởi hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$. 

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( { - 10;10} \right)$ để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0$ có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ thỏa mãn ${x_1} <  - 1 < {x_2} < {x_3}$?

Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1}  - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ liên tục tại $x = 0.$

Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi
$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2},\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.$
Đặt ${v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_{_i}^2}}},$ khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {EG}$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SBC.$ $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( {ABC} \right).$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SC = a\sqrt 2$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$. Khẳng định nào sau đây là sai?.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S,$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$ và $SC.$ Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN,$ biết rằng mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,\,\,\,AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $BC$ tạo với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ góc ${30^0}.$ Tính diện tích tam giác $ABC.$

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)$ bằng: