Đề kiểm tra 1 tiết chương 3: Dãy số - Đề số 2

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.

Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số $\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến $P\left( n \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ ($p$ là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

$\bullet$ Bước 1, kiểm tra mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với $n = p.$

$\bullet$ Bước 2, giả thiết mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với số tự nhiên bất kỳ $n = k \ge p$ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1.$

Trong hai bước trên:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $P\left( n \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ ($p$ là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ với ${x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}$  và $\left( {{y_n}} \right)$ với ${y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q > 0$ . Biết ${u_2} = 4;{u_4} = 9$ .

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ có ${x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng:

Cho hai số $x$ và $y$ biết các số $x - y;x + y;3x - 3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số $x - 2;y + 2;2x + 3y$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tìm $x;y$:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Cho cấp số cộng $\left( {{x_n}} \right)$  có ${S_n} = 3{n^2} - 2n$. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_3} =  - 2$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.$ Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Cho  cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$, biết:${u_1} =  - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

Cho tổng ${S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$. Mệnh đề nào đúng?

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?

Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $21$ bậc, mỗi bậc cao $18cm$. Ký hiệu ${h_n}$_­ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao ${h_n}$.

Cho dãy số xác định bởi ${u_1} = 1$, ${u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó ${u_{2018}}$ bằng

Biết rằng tồn tại các giá trị của $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$  để ba số $1 + \sin x,\,\,{\sin ^2}x,\,\,1 + \sin 3x$ lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.

Tính tổng ${S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11$ (có $10$ chữ số $1$)

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} = \sqrt 2$ và ${u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}}$ với mọi $n \ge 1$. Tìm ${u_{2018}}$.

Tính tổng ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}$ ($a \ne 1$ là số cho trước)

Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\%$. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$.

Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng $3$ và với mỗi số nguyên dương $n \ge 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu ${S_n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$?