Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).

Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)?

Tam giác \(ABC\) cạnh \(a\) thì có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Với \(n = 1\) thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng \(3\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\)có bán kính \({R_1} = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_1} = \pi {\left( {3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .

Với \(n = 2\) thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng \(\dfrac{3}{2}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có bán kính \({R_2} = 3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .

Với \(n = 3\) thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng \(\dfrac{3}{4}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có bán kính \({R_3} = 3.\dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_3} = \pi {\left( {3.\dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .

...................

Như vậy tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh bằng \(3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có bán kính \({R_n} = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow {S_n} = \pi {\left( {3.{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .

Khi đó ta được dãy \({S_1}\), \({S_2}\), \(...{S_n}...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = 3\pi \) và công bội \(q = \dfrac{1}{4}\).

Do đó tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)\( = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4\pi \) .