Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Xét thương : \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng.
Xét hiệu
\({y_{n + 1}} - {y_n} =\) \( \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \) \(= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) \ge 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1 \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) = 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = - 1
\end{array} \right.\)
Vậy \({\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1\)
\(\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\)
Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.
Hướng dẫn giải:
Xét tính tăng giảm của từng dãy số.
Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) , ta xét thương \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1.
Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0.