Cho dãy số xác định bởi \({u_1} = 1\), \({u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó ${u_{2018}}$ bằng
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \({{\rm{u}}_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{{\rm{u}}_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{3}{{n + 2}} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \dfrac{2}{3}{u_n} + \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{n + 1}}\).
$ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} = \dfrac{2}{3}\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)$$\left( 1 \right)$
Đặt ${v_n} = {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$, từ $\left( 1 \right)$ta suy ra: ${v_{n + 1}} = \dfrac{2}{3}{v_n}$.
Do đó $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với ${v_1} = {u_1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$, công bội $q = \dfrac{2}{3}$.
Suy ra: ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}$$ \Leftrightarrow {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}$$ \Leftrightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + \dfrac{1}{{n + 1}}$.
Vậy ${u_{2018}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2017}} + \dfrac{1}{{2019}}$$ = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}}$.
Hướng dẫn giải:
- Đặt \({v_n} = {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}\) tìm \({v_n}\) và suy ra công thức số hạng tổng quát của \({u_n}\)
- Thay \(n = 2018\) tìm \({u_{2018}}\)