Câu hỏi:
2 năm trước
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 10;10} \right)\) để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0$ có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}$?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ sao cho ${x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}$. Khi đó $f\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)$.
Ta có $f\left( { - 1} \right) = \left( { - 1 - {x_1}} \right)\left( { - 1 - {x_2}} \right)\left( { - 1 - {x_3}} \right) > 0$ (do ${x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}$).
Mà $f\left( { - 1} \right) = - m - 5$ nên suy ra $ - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5.$
Thử lại: Với $m < - 5$, ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty $ nên tồn tại \(a < - 1\) sao cho $f\left( a \right) < 0$. \(\left( 1 \right)\)
Do $m < - 5$ nên $f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0$. \(\left( 2 \right)\)
$f\left( 0 \right) = m - 3 < 0$. \(\left( 3 \right)\)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty $ nên tồn tại \(b > 0\) sao cho $f\left( b \right) > 0$. \(\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\); Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\), suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\); Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\), suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Vậy khi $m < - 5$ thỏa mãn \(m \in \mathbb{Z},m \in \left( { - 10;10} \right)\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6} \right\}.\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng phương pháp điều kiện cần tìm điều kiện của \(m\).
- Thay điều kiện dó vào phương trình và kiểm tra lại điều kiện.
Câu hỏi khác
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 5 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 4 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 2 - Đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
