Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa
Cho hàm số đa thức \(f(x)\) có đạo hàm tràm trên\(R\). Biết\(f(0) = 0\) và đồ thị hàm số\(y = f'\left( x \right)\)như hình sau.
Hàm số \(g(x) = \left| {4f(x) + {x^2}} \right|\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
Đặt \(h\left( x \right) = 4f\left( x \right) + {x^2}\) ta có \(h'\left( x \right) = 4f\left( x \right) + 2x = 4\left[ {f'\left( x \right) + \dfrac{x}{2}} \right]\).
Số nghiệm của phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = - \dfrac{x}{2}\).
Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = - \dfrac{x}{2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).
Khi đó ta có BBT hàm số \(y = h\left( x \right)\):
Khi đó ta suy ra được BBT hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) như sau:
Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;4} \right)\).
Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} = 12\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} = 12\)
Đáp án là
Đáp án là
Bước 1:
Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\).
Bước 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}.\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\\ = 12.\dfrac{1}{{2.\left( {2 + 1} \right)}} = 2\end{array}\)