Cho ${\log _2}14 = a$. Tính ${\log _{49}}32$ theo $a$.
$\begin{array}{l}a = {\log _2}14 = {\log _2}2 + {\log _2}7 = 1 + {\log _2}7 \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\\{\log _{49}}32 = {\log _{{7^2}}}{2^5} = \dfrac{5}{2}{\log _7}2 = \dfrac{5}{2}.\dfrac{1}{{{{\log }_2}7}} = \dfrac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\end{array}$
Sự tăng trưởng của 1 loài vi khuẩn được tính theo công thức $S = A.{e^{rt}}$ , trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r>0)$, $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là $150$ con và sau $5$ giờ có $450$ con, tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng.
Ta có: $450 = 150.{e^{5r}}$
$ = > {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 = > r = \dfrac{{\ln 3}}{5}$
Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng là:
$S = 150.{e^{10.\dfrac{{\ln 3}}{5}}} = 150.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {150.3^2} = 1350$(con)
Cho \(a > 0\), \(b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} = 5ab\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: \({a^2} + 4{b^2} = 5ab \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 9ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 9ab\).
Logarit cơ số \(10\) hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}\log {\left( {a + 2b} \right)^2} = \log \left( {9ab} \right) \Leftrightarrow 2\log \left( {a + 2b} \right) = \log 9 + \log a + \log b\\ \Leftrightarrow 2\log \left( {a + 2b} \right) = 2\log 3 + \log a + \log b \Leftrightarrow 2\left( {\log \left( {a + 2b} \right) - \log 3} \right) = \log a + \log b\\ \Leftrightarrow \log \dfrac{{a + 2b}}{3} = \dfrac{{\log a + \log b}}{2}\end{array}\)
Khi ánh sáng đi qua một môi trường ( chẳng hạn như không khí, nước , sương mù…), cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền \(x\), theo công thức \(I(x) = {I_0}{e^{ - \mu x}}\), trong đó \({I_0}\) là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và \(\mu \) là hệ số hấp thu của môi trường đó . Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu \(\mu =1,4 \), và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu $2m$ xuống đến độ sâu $20m$ thì cường độ ánh sáng giảm \(l{.10^{10}}\)lần. Số nguyên nào sau đây gần với $l$ nhất ?
Theo đầu bài ta có : \(I(20) = \dfrac{{I(2)}}{{l{{.10}^{10}}}}\) \( \Leftrightarrow {I_0}.{e^{ - 1,4.20}}.l{.10^{10}} = {I_0}.{e^{ - 1,4.2}} \) \(\Rightarrow l \approx 9\)
Giá trị ${\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}81$ là:
Ta có: ${\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}81 = {\log _{{{\sqrt 3 }^{ - 1}}}}{3^4} = - {\log _{\sqrt 3 }}{3^4} $
$= - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^4} = - \dfrac{1}{{1/2}}{\log _3}{3^4} = - 2{\log _3}{3^4} = - 2.4 = - 8$
Đặt ${\log _2}60 = a;{\log _5}15 = b.$ Tính $P = {\log _2}12$ theo $a$ và $b$.
$\begin{array}{l}a = {\log _2}60 = {\log _2}\left( {{2^2}.15} \right) = 2 + {\log _2}15 \Rightarrow {\log _2}15 = a - 2\\ \Rightarrow {\log _2}5 = \dfrac{{{{\log }_{15}}5}}{{{{\log }_{15}}2}} = \dfrac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_5}15}} = \dfrac{{a - 2}}{b}\\b = {\log _5}15 = {\log _5}\left( {3.5} \right) = 1 + {\log _5}3 \Rightarrow {\log _5}3 = b - 1\\{\log _2}3 = {\log _2}5.{\log _5}3 = \dfrac{{a - 2}}{b}.\left( {b - 1} \right) = \dfrac{{ab - 2b - a + 2}}{b}\\{\log _2}12 = {\log _2}\left( {{2^2}.3} \right) = 2 + {\log _2}3 = \dfrac{{ab - a + 2}}{b}\end{array}$
Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức \(Q\left( t \right) = {Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right)\) với $t$ là khoảng thời gian tính bằng giờ và \({Q_0}\) là dung lượng nạp tối đa ( pin đầy ). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện thoại đạt được $90 \%$ dung lượng pin tối đa ( kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Theo đầu bài ta có \(Q\left( t \right) = \dfrac{9}{{10}}{Q_0}\) nên theo công thức ta có : \(\dfrac{9}{{10}}.{Q_0} = {Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right) \) \(\Leftrightarrow 1 - {e^{ - t\sqrt 2 }} = \dfrac{9}{{10}} \) \(\Leftrightarrow t \approx 1,63\)
Đặt \(a = {\log _2}5\) và \(b = {\log _2}6\). Hãy biểu diễn \({\log _3}90\) theo $a$ và $b$?
Có $b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1$
${\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5$ $ = 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}3}} + \dfrac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + a}}{{b - 1}} = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}$
Cho a,b là các số dương thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} = 12ab\) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\begin{array}{l}{a^2} + 4{b^2} = 12ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} - 4ab = 12ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 16ab\\ \Rightarrow \ln {\left( {a + 2b} \right)^2} = \ln \left( {16ab} \right)\\ \Rightarrow 2\ln \left( {a + 2b} \right) = \ln 16 + \ln a + \ln b\\ \Rightarrow 2\ln \left( {a + 2b} \right) - 4\ln 2 = \ln a + \ln b\\ \Rightarrow \ln \left( {a + 2b} \right) - 2\ln 2 = \dfrac{1}{2}(\ln a + \ln b)\end{array}\)
Nếu $a > 1$ và $b > c > 0$ thì:
Nếu $a > 1$ và $b > c > 0$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c$.
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
Ta có: $\log_a{a^2}{b^4} = \log_a{a^2} + \log_a{b^4} $ $= 2\log_a a + 4\log_a b = 2 + 4p$
Đặt \(a = {\log _3}4,b = {\log _5}4\) . Hãy biểu diễn \({\log _{12}}80\) theo $a$ và $b$
Ta có $80 = {4^2}.5;{\rm{ }}12 = 3.4$
$\begin{array}{l}{\log _{12}}80 = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + {\log _{12}}5 = \dfrac{2}{{{{\log }_4}12}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}12}} = \dfrac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}4}}\\ = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{b}{a} + b}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}} + \dfrac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \dfrac{{2ab + a}}{{ab + b}}\end{array}$
Cho \(a > 0,\,\,b > 0\) và \(\ln \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{2\ln a + \ln b}}{3}\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\ln \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{2\ln a + \ln b}}{3}\\ \Leftrightarrow 3\ln \dfrac{{a + b}}{3} = 2\ln a + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {\dfrac{{a + b}}{3}} \right)^3} = \ln {a^2} + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{{27}} = \ln \left( {{a^2}b} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{{27}} = {a^2}b\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} = 27{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 27{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 24{a^2}b - 3a{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3\left( {8{a^2}b - a{b^2}} \right)\end{array}\)
Giá trị ${\log _3}a$ âm khi nào?
Vì $3 > 1$ nên để ${\log _3}a < 0$ thì $0 < a < 1$.
Nếu $\log _{12}6 = a; \log _{12} 7 = b$ thì:
Gán giá trị đề bài cho bằng cách bấm:
Lần lượt thử từng đáp án:
Cho $x;y$ là các số thực dương thỏa mãn $\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+y$.
Bất đẳng thức đã cho tương đương với $xy \ge {x^2} + y \Leftrightarrow y\left( {x-1} \right) \ge {x^2} \Rightarrow x > 1$
Do đó
$\begin{array}{l}y \ge \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow x + y \ge \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} + x = \dfrac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} = \dfrac{{2{x^2} - 2x + x - 1 + 1}}{{x - 1}}\\ = 2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} = 2\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{{x - 1}} + 3 \ge 2\sqrt {2\left( {x - 1} \right).\dfrac{1}{{x - 1}}} + 3\\ = 2\sqrt 2 + 3\end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi \(2\left( {x - 1} \right) = \dfrac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Cho $a, b$ là các số thực dương khác $1$ và thỏa mãn \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}({\log _a}b + {\log _b}a) = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2\)
Vì \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\) nên \({\log _a}b,{\log _b}a\) là nghiệm của phương trình\({x^2} - 2x + 1 = 0\). Suy ra \({\log _a}b = {\log _b}a = 1\) hay \(a = b\).
Gọi $m$ là số chữ số cần dùng khi viết số $2^{30}$ trong hệ thập phân và $n$ là số chữ số cần dùng khi viết số $30^2$ trong hệ nhị phân. Ta có tổng $m + n$ bằng
Dựa vào 2 kết quả trên ta có
$\begin{array}{l}m = \left[ {\log {2^{30}}} \right] + 1 = \left[ {30\log 2} \right] + 1 = 10\\n = \left[ {{{\log }_2}{{30}^2}} \right] + 1 = \left[ {2{{\log }_2}30} \right] + 1 = 10\\ \Rightarrow m + n = 20\end{array}$
