Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (với \(a,\)\(b,\)\(c,\)\(d \in \mathbb{R}\) và \(a \ne 0\)) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { - 2{x^2} + 4x} \right)\) là
Từ đồ thị ta thấy, hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm x=-2 và x=0 nên f'(-2)=0, f'(0)=0.
Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( { - 4x + 4} \right)f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right)\).
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 4x + 4 = 0\\
f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right) = 0
\end{array} \right.\,\,\,(*)\)
Do $f'\left( { - 2} \right) = 0,f'\left( 0 \right) = 0 $
$\Rightarrow f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2{x^2} + 4x = 0\\
- 2{x^2} + 4x = - 2
\end{array} \right.$
Do đó,
\((*)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4x + 4 = 0\\ - 2{x^2} + 4x = - 2\\ - 2{x^2} + 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 \pm \sqrt 2 \\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Các nghiệm này đều là nghiệm đơn.
Do đó \(g'\left( x \right)\) đổi dấu qua 5 điểm trên.
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) như sau :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là \( - 1;\,\,0;\,\,2;\,\,4\).
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 4 điểm cực trị.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là:
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\).
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\).
Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = -1\\x = 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm đơn \(x = 0,\,\,x = 2,\,\,x = 3,x=-1,x=1\)
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Cho hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = {e^{2f\left( x \right) + 1}} + {5^{f\left( x \right)}}\)
Bước 1: Tính y'
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = {e^{2f\left( x \right) + 1}} + {5^{f\left( x \right)}}\\y' = 2f'\left( x \right).{e^{2f\left( x \right) + 1}} + f'\left( x \right){.5^{f\left( x \right)}}.\ln 5\\ = f'\left( x \right)\left[ {2{e^{2f\left( x \right) + 1}} + {5^{f\left( x \right)}}\ln 5} \right]\end{array}\)
Bước 2: Chứng minh dấu của y' chỉ phụ thuộc vào dấu của $f'(x)$ và tìm số cực trị.
Ta thấy \(2{e^{2f\left( x \right) + 1}} + {5^{f\left( x \right)}}\ln 5 > 0\forall x\)
=> Dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của \(f'\left( x \right)\).
Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số ban đầu là 3.
Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\) là:
Xét hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) ta có: \(y' = 2x - 3 \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) có 1 cực trị.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) với trục hoành ta có:
\({x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
\( \Rightarrow \) Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\) là: \(S = 1 + 2 = 3\) cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}\).
Ta có: \(y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}} \Rightarrow y' = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}.f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right).f'\left( x \right)\ln 2019\)
\(f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) - 1 = - 1\\f\left( x \right) - 1 = 1\\f\left( x \right) - 1 = 3\\f\left( x \right) - 1 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\\f\left( x \right) = 4\\f\left( x \right) = 7\end{array} \right.\)
\(f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\) có tất cả: \(2 + 5 + 2 + 1 = 10\) nghiệm
(trong đó, có các nghiệm \(x = 3,\,\,x = 6\) là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 3\\x = 6\end{array} \right.\) : có 4 nghiệm
\( \Rightarrow y' = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}.f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right).f'\left( x \right) = 0\) có 12 nghiệm phân biệt, trong đó, \(x = 3,\,\,x = 6\) là nghiệm bội 3, còn lại là nghiệm đơn.
Do đó, số điểm cực trị của hàm số \(y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}\) là 12.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ đồng thời hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ có đồ thị như hình vẽ bên, xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$.
Từ hình vẽ ta có đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là một trong hai đồ thị dưới đây:
Từ hai đồ thị trên ta dựng được đồ thị $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ là một trong đồ thị dưới đây:
Từ hai đồ thị ở trên ta thấy: Ở cả hai trường hợp thì hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ đều có $5$ điểm cực trị.
Số điểm cực đại của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right)\) bằng:
Xét phương trình \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right) = 0\), phương trình có 100 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y = f\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc 100, có 100 nghiệm, do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 99 điểm cực trị.
Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên số điểm cực tiểu nhiều hơn số điểm cực đại là 1.
Do đó hàm số có 50 điểm cực tiểu, 49 điểm cực đại.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { - {x^2} + x} \right)\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( { - {x^2} + x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 1} \right)f'\left( { - {x^2} + x} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\f'\left( { - {x^2} + x} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow f'\left( { - {x^2} + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + x = 0\\ - {x^2} + x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
Suy ra phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \(x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 0,\,\,x = 1\).
Chọn \(x = 2\) ta có \(g'\left( 2 \right) = - 3f'\left( { - 2} \right) < 0\), qua các nghiệm \(x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 0,\,\,x = 1\) thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 điểm cực đại \(x = 0,\,\,x = 1\).
Cho hai hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có các đồ thị như hình dưới đây (2 đồ thị có đúng 3 điểm chung).
Số điểm cực trị của hàm số \(h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right).g\left( x \right)\) là:
Ta có:
\(h\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]^2}\)
\( \Rightarrow h'\left( x \right) = 2\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right].\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]'\) \( = 2\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\left[ {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right].\)
Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = {x_1} \in \left( { - 1;3} \right)\\x = 3\end{array} \right.\) và đa thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) đổi dấu khi qua các nghiệm này. Do đó các nghiệm trên là các nghiệm bội lẻ của (1). Mà \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều là các đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (1) nhỏ hơn hoặc bằng 4. Từ đó suy ra phương trình (1) là phương trình bậc 3.
Do đó phương trình (1) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (1).
Suy ra phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm phân biệt và \(h'\left( x \right)\) đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số \(h\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'(x)\) có đồ thị như hình dưới đây
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = 8f\left( {{x^3} - 3x + 3} \right) \) \(-\left( {2{x^6} - 12{x^4} + 16{x^3} + 18{x^2} - 48x + 1} \right)\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 8\left( {3{x^2} - 3} \right)f'\left( {{x^3} - 3x + 3} \right) \\- \left( {12{x^5} - 48{x^3} + 48{x^2} + 36x - 48} \right)\\g'\left( x \right) = 24\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f'\left( {{x^3} - 3x + 3} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {{x^3} - 3x + 3 + 1} \right)} \right]\\g'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\f'\left( {{x^3} - 3x + 3} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{x^3} - 3x + 3 + 1} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Đặt \(t = {x^3} - 3x + 3\), phương trình (*) trở thành \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\left( {t + 1} \right)\), do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = \dfrac{1}{2}\left( {t + 1} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 1\\t = 5\\t=t_0\in (1;5)\end{array} \right.\)
+ Với \(t = - 1 \Rightarrow {x^3} - 3x + 3 = - 1\), phương trình này có 1 nghiệm không nguyên.
+ Với \(t = 1 \Rightarrow {x^3} - 3x + 3 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\), trong đó \(x = 1\) là nghiệm bội 2.
+ Với \(t = 5 \Rightarrow {x^3} - 3x + 3 = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\), trong đó \(x = - 1\) là nghiệm bội 2.
+ Với \(t = {t_0} \in \left( {1;5} \right) \Rightarrow 1 < {t_0} < 5\) ta có phương trình \({x^3} - 3x + 3 = {t_0}\)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} - 3x + 3\) ta có:
\(h'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
BBT:
Từ BBT suy ra phương trình \({x^3} - 3x + 3 = {t_0}\) có \(3\) nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 8 nghiệm phân biệt và \(g'\left( x \right)\) đổi dấu qua các nghiệm này (\(x = \pm 1\) là nghiệm bội ba) nên hàm số \(g\left( x \right)\) có 8 điểm cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) biết \(a > 0\), \(c > 2017\) và \(a + b + c < 2017\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) là:
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) xác định và liên tục trên \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = c > 2017 > 0\).
\(f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = a + b + c < 2017\)
Do đó \(\left[ {f\left( { - 1} \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( 0 \right) - 2017} \right] < 0\) và \(\left[ {f\left( 1 \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( 0 \right) - 2017} \right] < 0\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên \(\exists \alpha < 0\), \(\beta > 0\) sao cho \(f\left( \alpha \right) > 2017\), \(f\left( \beta \right) > 2017\)
\(\left[ {f\left( \alpha \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( { - 1} \right) - 2017} \right] < 0\) và \(\left[ {f\left( \beta \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( 1 \right) - 2017} \right] < 0\)
Suy ra đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) - 2017\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) có dạng
Vậy số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) là \(7\) .
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\). Điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\\\,\,\,\,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x = - 2\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right.\) (ta không xét \({x^2} - 2x = 0\) vì \(x = 0\) là nghiệm kép của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\) và qua các nghiệm này thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.
Chọn \(x = 4\) ta có \(g'\left( 4 \right) = 6f'\left( 8 \right) > 0\).
Khi đó ta có BXD của \(g'\left( x \right)\) như sau:
Điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là \({x_{CD}} = 1\).
Hình vẽ dưới đây mô tả số người nhiễm Covid-19 đang được điều trị ở Việt Nam tính từ ngày 23/01/2020 đến ngày 13/02/2021.
Hỏi từ ngày 16/06/2020 đến ngày 27/01/2021, ngày nào Việt Nam có số người được điều trị Covid-19 nhiều nhất?
Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.
