Con lắc lò xo

Ta có:

- Cơ năng dao động:

\({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2} = {20.10^{ - 3}}J\)

- Lực đàn hồi cực đại: F_đhmax = kA = 2N

\( \to \dfrac{{\rm{W}}}{{{F_{{\rm{d}}{{\rm{h}}_{{\rm{max}}}}}}}} = \dfrac{A}{2} = \dfrac{{{{20.10}^{ - 3}}}}{2} \\\to A = 0,02m = 2cm\)

Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)

=> chu kì T phụ thuộc vào khối lượng m, độ cứng k

Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  \to {T^2} = 4{\pi ^2}\dfrac{m}{k}\)

=> Đồ thị $T -  m$ có dạng parabol 

A - sai vì: Động năng của con lắc lò xo:

\(\begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\ = W - {W_t} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - \dfrac{1}{2}k{x^2}\end{array}\)

B, C, D - đúng

Ta có:

Độ dãn  của con lắc lò xo nằm ngang tại vị trí cân bằng: \(\Delta l = \frac{{mg\sin \alpha }}{k}\)

Chu kì do động của con lắc lò xo nằm ngang:

\({\rm{ }}T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta l}}{{g\sin \alpha }}} \)

Tại vị trí có động năng gấp n lần thế năng của vật: W_đ = nW_t

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = n{W_t}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt {n + 1} }}\\v =  \pm A\omega \sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \end{array} \right.\)

Từ phương trình dao động, ta có chu kì dao động: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = 1{\rm{s}}\)

Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 5c{\rm{os}}\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 2,5cm\\v =  - A\omega \sin \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) > 0\end{array} \right.\)

Lực đàn hồi đổi chiều tại vị trí cân bằng

Từ vòng tròn lượng giác,

=> Lực đàn hồi đổi chiều lần đầu kể từ t = 0 tại thời điểm: \(t = \dfrac{T}{6} + \dfrac{T}{4} = \dfrac{{5T}}{{12}} = \dfrac{5}{{12}}s\)

Từ phương trình dao động điều hòa, ta có:

+ Biên độ A = 10 cm

+ Tần số góc: ω = 4p

Khi W_đ = 3W_t

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = 3{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to {W_d} = \dfrac{1}{{3 + 1}}W \to v =  \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt {3 + 1} }} =  \pm 20\pi cm/s\)

Chiều dài quỹ đạo chuyển động của con lắc là:

\(L = {l_{max}}-{l_{min}} = 2A \Rightarrow A = \frac{{{l_{\max }} - {l_{\min }}}}{2} = \frac{{28 - 20}}{2} = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

Từ đồ thị, ta có:

+ Tại thời điểm ban đầu (t =0) :

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = 0,015 \to {{\rm{W}}_t} = 0,02 - 0,015 = {5.10^{ - 3}}J = \dfrac{{\rm{W}}}{4}\\ \to {x_0} =  \pm \dfrac{A}{2}\end{array}\)

+ Vị trí có W_đ = 0 lần thứ nhất: <=> x₁ = ±A

Dựa vào đồ thị ta suy ra: x₀ = A/2 và x₁ = A

=> Khoảng thời gian vật đi từ x₀ đến x₁ là:

\(\Delta t = \dfrac{T}{6} = \dfrac{1}{6}s \to T = 1{\rm{s}} \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = 2\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

\({{\rm{W}}_{{{\rm{d}}_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 0,02 \to A = \sqrt {\dfrac{{2{{\rm{W}}_{{d_{{\rm{max}}}}}}}}{{m{\omega ^2}}}}  = \sqrt {\dfrac{{2.0,02}}{{0,4.{{(2\pi )}^2}}}}  = 0,05m = 5cm\)

Tại t = 0:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Ac{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{A}{2}\\v =  - {\rm{Asin}}\varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\frac{1}{2}\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

=> Phương trình dao động của vật: \(x = 5c{\rm{os}}\left( {2\pi t - \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\)

Tốc độ góc của con lắc: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

Tốc độ cực đại của vật là   \({v_{{\rm{max}}}} = \omega A = A.\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

Cơ năng ban đầu của con lắc là: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

Giữ chặt một phần của lò xo, biên độ mới của con lắc và độ cứng của lò xo:

\(k'A' = kA \Rightarrow k' = \dfrac{{kA}}{{A'}}\)

Cơ năng của con lắc giảm 10%, cơ năng còn lại là:

\(\begin{array}{l}{\rm{W}}' = \dfrac{1}{2}k'A{'^2} = 0,9W = 0,9.\dfrac{1}{2}k{A^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{kA}}{{A'}}.A{'^2} = 0,9.k{A^2} \Rightarrow A' = 0,9A = A.90\% \\ \Rightarrow A - A' = A.10\% \end{array}\)

Áp dụng định lí bảo toàn cơ năng cho con lắc, ta có:

\(\begin{align}& \text{W}={{\text{W}}_{t}}+{{\text{W}}_{d}}\Rightarrow \frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}+{{\text{W}}_{d}} \\& \Rightarrow {{\text{W}}_{d}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}-\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=0,009\,\,\left( J \right) \\\end{align}\)

Ta có:

\({\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k{A^2} = \dfrac{1}{2}m{v^2} + \dfrac{1}{2}k{{\rm{x}}^2}\)

Tại VTCB thế năng bằng 0.

Vị trí con lắc có động năng bằng cơ năng => là vị trí động năng cực đại => VTCB.

Tại VTCB, li độ x = 0.

Gọi T’ là chu kì của con lắc lò xo.

Khoảng thời gian nhỏ nhất giữa hai lần liên tiếp vật nặng có độ lớn vận tốc cực đại là $\frac{T'}{2}$

Ta có: $\frac{{{T}'}}{2}=T\Rightarrow {T}'=2T.$

Ta có, chu kì dao động của con lắc tại các vị trí \(\Delta m\) là: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta m}}{k}} \)

Từ đồ thị, ta có:

+ Tại \(\Delta {m_{10}} = 10g\) ta có: \(T_{10}^2 = 0,3{s^2}\)

+ Tại \(\Delta {m_{30}} = 30g\) ta có: \(T_{30}^2 = 0,4{s^2}\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_{10}} = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta {m_{10}}}}{k}} \\{T_{30}} = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta {m_{30}}}}{k}} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{T_{10}^2}}{{T_{30}^2}} = \frac{{m + \Delta {m_{10}}}}{{m + \Delta {m_{30}}}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} \Leftrightarrow \frac{{m + 10}}{{m + 30}} = \frac{3}{4} \Rightarrow m = 50g\)