Bài tập về định luật Ôm

Ta có:

+ Tổng trở mạch ngoài:

\({R_{ng}} = \dfrac{{R.2R}}{{R + 2{\rm{R}}}} = \dfrac{2}{3}R\)

+ \(I = \dfrac{E}{{\dfrac{2}{3}R + r}}\)

+ \({U_2} = {U_3} \leftrightarrow {I_2}.R = {I_3}.2R \leftrightarrow {I_2} = 2{I_3}\)

+ I = I₂ + I₃

- Khi mắc với một điện trở ngoài R = r

Cường độ dòng điện

\(I = \dfrac{E}{{R + r}} = \dfrac{E}{{r + r}} = \dfrac{E}{{2{\rm{r}}}}\)

- Khi thay nguồn bằng 3 nguồn điện giống hệt mắc song song: E_b = E

\({r_b} = \dfrac{r}{n} = \dfrac{r}{3}\)

Cường độ dòng điện khi này:

\(I' = \dfrac{{{E_b}}}{{R + {r_n}}} = \dfrac{E}{{r + \dfrac{r}{3}}} = \dfrac{{3E}}{{{\rm{4r}}}}\)

\(\dfrac{{I'}}{I} = \dfrac{3}{2} \to I' = 1,5I\)

Ta có:

Công suất mạch ngoài là:

\({P_N} = {I^2}{R_N} = \frac{{{E^2}{R_N}}}{{{{\left( {r + R + {R_x}} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{E^2}}}{{{{\left( {\frac{r}{{R + {R_x}}} + 1} \right)}^2}}}\)

\({P_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {\frac{r}{{R + {R_x}}} + 1} \right)_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương \(\frac{r}{{R + {R_x}}}\) và 1 ta có:

\(\left( {\frac{r}{{R + {R_x}}} + 1} \right) \ge 2.\sqrt {\frac{r}{{R + {R_x}}}} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{r}{{R + {R_x}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{3 + {R_x}}} = 1 \Leftrightarrow {R_x} = 1\Omega \)

Công suất cực đại: \({P_{\max }} = \frac{{{{24}^2}.\left( {3 + 1} \right)}}{{{{(4 + 3 + 1)}^2}}} = 36{\rm{W}}\)

Vậy \({R_x} = 1\Omega ;{P_{\max }} = 36{\rm{W}}\)

Điện trở của bóng đèn: \({R_d} = \dfrac{{U_d^2}}{{{P_d}}} = \dfrac{{{6^2}}}{6} = 6\Omega \)

Cường độ định mức qua đèn là: \({I_{dm}} = \dfrac{{{P_d}}}{{{I_d}}} = \dfrac{6}{6} = 1A\)

Cường độ dòng điện chạy trong mạch:

\(I = \dfrac{E}{{r + {R_N}}} = \dfrac{E}{{r + \left( {{R_d} + {R_x}} \right)}} = \dfrac{{12}}{{4 + 6 + {R_x}}} = \dfrac{{12}}{{10 + {R_x}}}\)

Để đèn sáng bình thường thì:

\(I = {I_{dm}} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{10 + {R_x}}} = 1 \Rightarrow {R_x} = 2\Omega \)

Hiệu điện thế giữa hai cực nguồn điện là:

\(U = I.R \Rightarrow I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{{12}}{{4,8}} = 2,5\,\,\left( A \right)\)

Cường độ dòng điện chạy trong mạch:

\(I = \dfrac{{{E_b}}}{{r + R}} = \dfrac{6}{{1 + 2}} = 2A\)

Hiệu điện thế hai cực của mỗi pin:

\(U = E - I.r = 3 - 1.2 = {1_{}}V\)

Mạch ngoài gồm: \({R_1}\,\,nt\,\,\left( {{R_2}\,\,//\,{R_3}} \right)\)

Điện trở tương đương của mạch ngoài là:

\({R_N} = {R_1} + {R_{23}} = {R_1} + \dfrac{{{R_2}{R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} = 4 + \dfrac{{10.10}}{{10 + 10}} = 9\Omega \)

Số chỉ của ampe kế là 0,6A

\( \Rightarrow {I_3} = 0,6A \Rightarrow {U_3} = {I_3}{R_3} = 0,6.10 = 6V\)

Do \({R_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} nt{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{R_2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} //{\mkern 1mu} {R_3}} \right) \Rightarrow {U_{23}} = 6V\)

\( \Rightarrow {I_{23}} = \frac{{{U_{23}}}}{{{R_{23}}}} = \frac{6}{5} = 1,2A \Rightarrow I = {I_{23}} = 1,2A\)

Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch ta có:

\(I = \dfrac{E}{{{R_N} + r}} \Leftrightarrow 1,2 = \dfrac{{12}}{{9 + r}} \Leftrightarrow 9 + r = 10 \Rightarrow r = 1\Omega \)

Hiệu điện thế giữa hai cực của nguồn điện khi điện trở mạch ngoài là \({R_1};\,\,{R_2}\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{U_1} = {I_1}{R_1} = 3{I_1}\\{U_2} = {I_2}{R_2} = 10,5{I_2}\end{array} \right.\)

Ta có: \({U_2} = 2{U_1} \Rightarrow 10,5{I_2} = 2.3{I_1} \Rightarrow {I_2} = \frac{4}{7}{I_1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{E}{{{R_2} + r}} = \dfrac{4}{7}.\dfrac{E}{{{R_1} + r}} \Rightarrow 7\left( {{R_1} + r} \right) = 4\left( {{R_2} + r} \right)\\ \Rightarrow r = \frac{{4{R_2} - 7{R_1}}}{3} = \frac{{4.10,5 - 7.3}}{3} = 7\,\,\left( \Omega  \right)\end{array}\)

Điện trở của đèn là: \({R_d} = \dfrac{{{U_{dm}}^2}}{{{P_{dm}}}} = \dfrac{{{6^2}}}{6} = 6\,\,\left( \Omega  \right)\)

Cường độ dòng điện định mức của đèn là: \({I_{dm}} = \dfrac{{{P_{dm}}}}{{{U_{dm}}}} = \dfrac{6}{6} = 1\,\,\left( A \right)\)

Cường độ dòng điện trong mạch là: \(I = \dfrac{E}{{R + {R_d} + r}}\)

Để đèn sáng bình thường, ta có:

\(I = {I_{dm}} \Rightarrow \dfrac{E}{{R + {R_d} + r}} = {I_{dm}} \Rightarrow \dfrac{{12}}{{R + 6 + 1}} = 1 \Rightarrow R = 5\,\,\left( \Omega  \right)\)

Cường độ dòng điện trong toàn mạch: \(I = \frac{E}{{R + r}}\)

Từ đồ thị, ta có:

+ Khi \(R = 0\Omega  \Rightarrow I = 10A = \frac{E}{r}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Khi \(R = 3\Omega  \Rightarrow I = 2,5A = \frac{E}{{R + r}} = \frac{E}{{3 + r}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}E = 10V\\r = 1\Omega \end{array} \right.\)

Cách giải:

- Khi n acquy nối tiếp, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{E_b} = nE\\{r_b} = nr\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{{{E_b}}}{{R + {r_b}}} = \frac{{nE}}{{R + nr}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

- Khi n acquy song song, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{E_b} = E\\{r_b} = \frac{r}{n}\end{array} \right. \Rightarrow I' = \frac{{{E_b}}}{{R + {r_b}}} = \frac{E}{{R + \frac{r}{n}}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

- Để dòng điện qua R khi n acquy nối tiếp hoặc song song đều như nhau thì:

\(I = I' \Leftrightarrow \frac{{nE}}{{R + nr}} = \frac{E}{{R + \frac{r}{n}}}\,\,\, \Leftrightarrow nR + r = R + nR \Rightarrow R = r\)

Công suất tiêu thụ trên biến trở: \(P = {I^2}R = {\left( {\dfrac{E}{{r + R}}} \right)^2}.R\)

Từ đồ thị ta thấy khi \(R = {R_1}\) và \(R = 12,8\Omega \) thì công suất tiêu thụ trên biến trở có cùng giá trị. Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{E}{{8 + {R_1}}}} \right)^2}.{R_1} = {\left( {\dfrac{E}{{8 + 12,8}}} \right)^2}.12,8\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{R_1}}}{{{{\left( {8 + {R_1}} \right)}^2}}} = \dfrac{{12,8}}{{{{\left( {8 + 12,8} \right)}^2}}} \Rightarrow {R_1} = 5\Omega \end{array}\)

Do \({R_{td}} > r \to \) có ít nhất 1 điện trở \(r\) mắc nối tiếp với \({R_x}\)

Ta có: \({R_{td}} = r + {R_x} \Rightarrow {R_x} = {R_{td}} - r = 5 - 3 = 2\,\,\left( \Omega  \right)\)

Ta thấy \({R_x} < r \to \) có ít nhất 1 điện trở \(r\) mắc song song với \({R_y}\)

Ta có: \(\frac{1}{{{R_x}}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{{{R_y}}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{R_y}}} \Rightarrow {R_y} = 6\,\,\left( \Omega  \right)\)

Ta thấy \({R_y} = 6\Omega  = 2r \to \) đoạn mạch \({R_y}\) gồm \(2\) điện trở \(r\) mắc nối tiếp

Ta có sơ đồ mạch điện:

Vậy cần ít nhất \(4\) điện trở.

+ Ban đầu: \({I_1} = \dfrac{\xi }{{r + {R_1}}} \Leftrightarrow \dfrac{\xi }{{4 + {R_1}}} = 1,2A\,\,\left( 1 \right)\)

+ Mắc \({R_2}\,nt\,{R_1} \Rightarrow {R_N} = {R_1} + {R_2} = {R_1} + 2\)

\( \Rightarrow {I_2} = \dfrac{\xi }{{r + {R_N}}} \Leftrightarrow \dfrac{\xi }{{4 + {R_1} + 2}} = 1A\,\,\left( 2 \right)\)

+ Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}1,2.\left( {4 + {R_1}} \right) = 1\left( {4 + {R_1} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4,8 + 1,2{R_1} = 4 + {R_1} + 2 \Rightarrow {R_1} = 6\Omega \end{array}\)

Ta có: \(I = \dfrac{E}{{R + r}}\)

\( \Rightarrow E = I.\left( {R + r} \right) = 0,5.\left( {10 + 2} \right) = 6V\)