Bài toán về điểm và vecto

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

Câu 21 Trắc nghiệm

Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 1;0 - 2;2 - 5} \right) = \left( {0; - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {4 - 1;7 - 2; - 1 - 5} \right) = \left( {3;5; - 6} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {4 - 1;1 - 2;a - 5} \right) = \left( {3; - 1;a - 5} \right)\end{array} \right.\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {27; - 9;6} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = \left( {27; - 9;6} \right).\left( {3; - 1;a - 5} \right) = 60 + 6a\end{array}$

$A,B,C,D$ đồng phẳng khi \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a =  - 10\).

Câu 22 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {m;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)\)  cùng phương thì \(2m + 3n\) bằng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {m;2;3} \right),\overrightarrow b  = \left( {1;n;2} \right)\) cùng phương khi \(\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 2m + 3n = 7.\)

Câu 23 Trắc nghiệm

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {4;0;4} \right)\) và \(B\left( {2;4;0} \right)\). Điểm \(M\) di động trên tia \(Oz\), điểm \(N\) di động trên tia \(Oy\). Đường gấp khúc \(AMNB\) có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(H\left( {0;0;4} \right)\) và \(K\left( {0;4;0} \right)\) là hình chiếu của \(A\) trên \(Oz\) và \(B\) trên \(Oy\)

Gọi \(A'\left( {0; - 4;4} \right);B'\left( {0;4; - 2} \right)\).

Xét hai tam giác vuông \(AHM;AHA'\) có chung\(HM;\,\,HA = HA' = 4 \Rightarrow \Delta AHM = \Delta A'HM\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow AM = A'M\)

Chứng minh tương tự ta có \(BN = B'N\) .

Độ dài đường gấp khúc \(AMNB\) là \(AM + MN + NB = A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10\).

(Lưu ý rằng các điểm \(A',M,N,B'\) cùng nằm trên mặt phẳng \(Oyz\)).