Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) sao cho số đó chia hết cho 1111?
Đặt \(m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_i} \in A,\,\,{a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} } \right)\).
Do \({a_i} \in A,\) các \({a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} \) nên \(\sum\limits_{i = 1}^8 {{a_i}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\).
Do đó \(m\,\, \vdots \,\,9\). Mà \(m\,\, \vdots \,\,1111\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,9999.\)
Đặt \(p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;\,\,\,q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) ta có:
\(\begin{array}{l}m = p{.10^4} + q = 9999.p + \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999\\Do\,\,0 < p,\,\,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\end{array}\)
Mà \(\left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right.\).
Có 4 cặp có tổng bằng 9 là \(\left( {1;8} \right);\,\,\left( {2;7} \right);\,\,\left( {3;6} \right);\,\,\left( {4;5} \right)\).
Suy ra có:
+) 8 cách chọn \({a_1}\), ứng với mỗi cách chọn \({a_1}\) có 1 cách chọn \({a_5}\).
+) 6 cách chọn \({a_2}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\, \ne {a_5}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_2}\) có 1 cách chọn \({a_6}\).
+) 4 cách chọn \({a_3}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_5},\,\,{a_6}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_3}\) có 1 cách chọn \({a_7}\).
+) 2 cách chọn \({a_4}\,\,\left( { \ne {a_1};\,\,{a_2};\,\,{a_3};\,\,{a_5};\,\,{a_6};\,\,{a_7}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_4}\) có 1 cách chọn \({a_8}\).
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả \(8.6.4.2 = 384\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
\( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\).
TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\).
Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)
+) \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).
\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.
+) \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).
\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.
+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
\( \Rightarrow \) Có \(1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn.
\( \Rightarrow \) Có \(3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số.
TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\), trong đó \(5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\).
Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)
+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có \(C_3^1\) cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có: \(C_3^1.3!\) cách chọn.
Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm \(\overline {bc}\):
Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có \(C_3^1\) cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn \(\overline {bc}\) là \(C_3^1 .2!\)
\( \Rightarrow \) Có \(C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12\) cách chọn.
+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
\( \Rightarrow \) Có \(C_2^1.3! - 2! = 10\) cách chọn.
+) Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
\( \Rightarrow \) Có \(C_3^2.C_2^1.3! = 36\) cách chọn.
Vậy có tất cả \(66 + 12 + 10 + 36 = 124\) số thỏa mãn.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7.
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \) \(\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \le 9,\,\,a \ne 0} \right)\).
TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 \( \Rightarrow b = c = d = 0,\,\,a = 7\).
Do đó có 1 số thỏa mãn.
TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có \(C_3^2 = 3\) cách.
- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có \(7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6\) nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.
Do đó trường hợp này có 18 số.
TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.
- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có \(C_3^1 = 3\) cách.
- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có: \(7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\).
+ Với bộ số (1;2;4) có \(3! = 6\) cách chọn 3 chữ số còn lại.
+ Với 3 bộ số còn lại có \(\dfrac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách chọn 3 chữ số còn lại.
Do đó trường hợp này có \(3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45\) số.
TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d không có chữ số nằm bằng 0.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 1 + 1 + 4\\7 = 1 + 1 + 2 + 3\\7 = 1 + 2 + 2 + 2\end{array} \right.\).
+ Với bộ số (1;1;1;4), có \(\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4\) cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.
+ Với bộ số (1;1;2;3), có \(\dfrac{{4!}}{{2!}} = 12\) cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.
+ Với bộ số (1;2;2;2), có \(\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4\) cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.
Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả: 1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.
