Bài tập điện trường

Ta có:

    + Ban đầu:

\(E = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}}\)

    + Khi thay bằng điện tích -2Q, r’ = r/2, ta có:

\(E' = k\dfrac{{\left| { - 2Q} \right|}}{{\varepsilon .r{'^2}}} = k\dfrac{{\left| { - 2Q} \right|}}{{\varepsilon .{{\left( {\dfrac{r}{2}} \right)}^2}}} = k\dfrac{{2.4\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}} = 8E\)

Ta có:

+ Phương : đường thẳng nối điện tích với điểm khảo sát

+ Q < 0 => \(\overrightarrow E \) hướng về phía Q

=> E có chiều từ B đến A

+ Độ lớn: \(E = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| { - {{2.10}^{ - 7}}} \right|}}{{2.0,{{06}^2}}} = 2,{5.10^5}V/m\)

- Gọi cường độ điện trường do \({q_1}\) gây ra là \({E_1}\); do \({q_2}\) gây ra là \({E_2}\)

- Theo nguyên lí chồng chất điện trường:\(\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}} \)

Vì \({E_1}\), \({E_2}\) là 2 véc tơ cùng phương, cùng chiều nên: $E = E_1 + E_2$

Ta có, cường độ điện trường:   \(E = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}}\)  

Thay \({q_1} = {\rm{ }}{4.10^{-10}}C,{\rm{ }}{q_2} = {\rm{ }} - {4.10^{ - 10}}C,{\rm{ }}{r_1} = {\rm{ }}{r_2} = 1cm{\rm{ }},\varepsilon = 1\)

Ta có: \({E_1} = {\rm{ }}{E_2} = {36.10^3}V/m\)

\( = > E{\rm{ }} = {\rm{ }}2.{E_1} = 72.{\rm{ }}{10^3}V/m\)

- Gọi cường độ điện trường do ${q_1}$ gây ra là ${E_1}$ ; do ${q_2}$ gây ra là ${E_2}$

- Theo nguyên lí chồng chất điện trường:$\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}} $

Vì ${E_1},{\rm{ }}{E_2}$ là 2 véc tơ cùng phương, ngược chiều nên: $E{\rm{ }} = {\rm{ }}{E_1} - {\rm{ }}{E_2}$

Ta có, cường độ điện trường:   $E = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}}$  

Thay ${q_1} = {\rm{ }}{4.10^{ - 10}}C,{\rm{ }}{q_2} = {\rm{ }} - {4.10^{ - 10}}C,{\rm{ }}{r_1} = {\rm{ }}1cm{\rm{ }},{r_2} = {\rm{ }}3cm,\varepsilon  = 1$

Ta có:

${E_1} = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r_1}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| {{{4.10}^{ - 10}}} \right|}}{{1.0,{{01}^2}}} = {36.10^3}V/m$

${E_2} = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r_2}^2}} = {9.10^9}\dfrac{{\left| {{{4.10}^{ - 10}}} \right|}}{{1.0,{{03}^2}}} = {4.10^3}V/m$

$ =  > E{\rm{ }} = {\rm{ }}{E_1} - {\rm{ }}{E_2} = 32.{\rm{ }}{10^3}V/m$

Ta có:  |q₁| = |q₂| và r₁ = r₂ => E₁ = E₂

Vẽ hình ta có:

E = E₁ = E₂ = \(E = k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}} = {9.10^9}\frac{{\left| {{{4.10}^{ - 10}}} \right|}}{{1.0,{{02}^2}}} = {9.10^3}V/m\)

- Ta có: r₁ = r₂ = \(r = \sqrt {A{H^2} + A{C^2}}  = 2\sqrt 2 \) cm Vì  |q₁| = |q₂| và r₁ = r₂ => E₁ = E₂

- Từ hình vẽ ta có: \(E = 2{E_1}c{\rm{os}}\alpha \)

Với

\(\cos \alpha  = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)    => \(E = 2{E_1}\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {E_1}\sqrt 2 \)

Ta có:

\({E_1} = k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{\varepsilon .{r_1}^2}} = {9.10^9}\frac{{\left| {{{8.10}^{ - 8}}} \right|}}{{1.{{(2.\sqrt 2 {{.10}^{ - 2}})}^2}}} = {9.10^5}V/m\)

=> E ≈ 12,73. 10⁵ V/m.

Gọi \(\overrightarrow {{E_A}} ,\overrightarrow {{E_B}} ,\overrightarrow {{E_C}} \) lần lượt là cường độ điện trường do điện tích q₁, q₂ và q₃ gây ra tại H.

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{30}^2}}} + \frac{1}{{{{40}^2}}} \to HA = 24cm\\BH = 18cm,CH = 32cm\end{array} \right.\)

Mặt khác : \(E = k\frac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}}\)

\( \to \left\{ \begin{array}{l}{E_A} = k\frac{{\left| q \right|}}{{A{H^2}}} = {9.10^9}\frac{{{{10}^{ - 9}}}}{{0,{{24}^2}}} = 156,25V/m\\{E_B} = k\frac{{\left| q \right|}}{{B{H^2}}} = {9.10^9}\frac{{{{10}^{ - 9}}}}{{0,{{18}^2}}} = 277,78V/m\\{E_C} = k\frac{{\left| q \right|}}{{C{H^2}}} = {9.10^9}\frac{{{{10}^{ - 9}}}}{{0,{{32}^2}}} = 87,89V/m\end{array} \right.\)

Cường độ điện trường tổng hợp tại H:

\(\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_A}}  + \overrightarrow {{E_B}}  + \overrightarrow {{E_C}} \)

Ta có:

 \(\overrightarrow {{E_B}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_C}}  \to {E_{BC}} = {E_B} - {E_C} = 189,89V/m\)

\( \to E = \sqrt {E_A^2 + E_{BC}^2}  = \sqrt {156,{{25}^2} + 189,{{89}^2}}  = 245,91V/m\)

Gọi \(\overrightarrow {{E_A}} ,\overrightarrow {{E_B}} ,\overrightarrow {{E_C}} \) lần lượt là cường độ điện trường do điện tích q₁, q₂ và q₃ gây ra tại D.

Ta có:  q₂ < 0 => \(\overrightarrow {{E_2}} \) hướng về B

Theo đề bài, ta có: \(\overrightarrow {{E_{13}}}  = \overrightarrow {{E_2}} \)=> \(\overrightarrow {{E_{13}}} \)phải cùng chiều và có độ lớn bằng \(\overrightarrow {{E_2}} \). Do đó, \(\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_3}} \)và \(\overrightarrow {{E_{13}}} \)có phương, chiều như hình vẽ:

Từ hình vẽ, ta có:

Với \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{AD}}{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{3}{5}\\\sin \alpha  = \frac{{AB}}{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{4}{5}\\{E_2} = k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{D^2}}} = {9.10^9}\frac{{\left| { - 12,{{5.10}^{ - 8}}} \right|}}{{0,{{05}^2}}} = {45.10^4}V/m\end{array} \right.\)

Ta suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = {E_2}{\rm{cos}}\alpha  = {45.10^4}.\frac{3}{5} = {27.10^4}V/m\\{E_3} = {E_2}\sin \alpha  = {45.10^4}.\frac{4}{5} = {36.10^4}V/m\end{array} \right.\)

Mặt khác:

\(\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{D^2}}} = {27.10^4}V/m\\{E_3} = k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{C{D^2}}} = {36.10^4}V/m\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\left| {{q_1}} \right| = 2,{7.10^{ - 8}}C\\\left| {{q_2}} \right| = 6,{4.10^{ - 8}}C\end{array} \right.\)

Ta thấy, \(\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_3}} \)hướng lại gần các điện tích nên q₁ và q₃ sẽ là các điện tích âm

\( \to \left\{ \begin{array}{l}{q_1} =  - 2,{7.10^{ - 8}}C\\{q_2} =  - 6,{4.10^{ - 8}}C\end{array} \right.\)

Ta có :

\(\overrightarrow {{E_2}}  = 2\overrightarrow {{E_1}} \)=> \(\overrightarrow {{E_2}}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {{E_1}} \)=> điểm C thuộc đường thẳng AB

Lại có q₁ và q₂ trái dấu => C nằm trong đoạn AB

=> CA + CB = AB = 30cm.               (1)

Mặt khác,

\(\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{C{A^2}}}\\{E_2} = k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{C{B^2}}}\end{array} \right. \to \frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{\left| {{q_1}} \right|C{B^2}}}{{\left| {{q_2}} \right|C{A^2}}} = \frac{1}{2} \to \frac{{CA}}{{CB}} = \sqrt {2\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{\left| {{q_2}} \right|}}}  = \sqrt {2\frac{{\left| {{{10}^{ - 9}}} \right|}}{{\left| { - {{8.10}^{ - 9}}} \right|}}}  = \frac{1}{2}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: CA = 10cm, CB = 20cm

Gọi \(\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}} \)lần lượt là cường độ điện trường do q₁ và q₂ gây ra tại M.

Theo đề bài ta có:

\(\overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = 0 \to \overrightarrow {{E_1}}  = \overrightarrow { - {E_2}}  \to \overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}} \)=> M phải thuộc AB

Và vì 2 điện tích cùng dấu => M phải ở bên trong AB

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{\varepsilon M{A^2}}}\\{E_2} = k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{\varepsilon M{B^2}}}\end{array} \right. \to \frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{\left| {{q_1}} \right|M{B^2}}}{{\left| {{q_2}} \right|M{A^2}}} = 1 \to \frac{{MA}}{{MB}} = \sqrt {\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{\left| {{q_2}} \right|}}}  = \sqrt {\frac{{\left| {{{4.10}^{ - 6}}} \right|}}{{\left| {{{36.10}^{ - 6}}} \right|}}}  = \frac{1}{3}\)

Lại có: MA + MB = 16

=> MA = 4cm, MB = 12cm

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = {E_3} = k\frac{{{q^2}}}{{{a^2}}}\\{E_{13}} = \sqrt {E_1^2 + E_3^2}  = \sqrt 2 {E_1}\end{array} \right.\)

Để \({E_D} = 0 \to \overrightarrow {{E_{13}}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_{13}}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}}  \to {q_2} < 0\\{E_{13}} = {E_2}\end{array} \right.\)

\({E_2} = {E_{13}} \leftrightarrow {E_2} = \sqrt 2 {E_1} \leftrightarrow k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = k\frac{{\sqrt 2 \left| {{q_1}} \right|}}{{{{\left( a \right)}^2}}} \to \left| {{q_2}} \right| = 2\sqrt 2 \left| {{q_1}} \right| \to {q_2} =  - 2\sqrt 2 q\)

10cm³ = 10^-5m³

Ta có, các lực tác dụng lên quả cầu gồm: lực điện \(\overrightarrow F \) , trọng lực \(\overrightarrow P \)hướng xuống và lực đẩy Acsimét \(\overrightarrow {{F_A}} \)hướng lên.

\(\overrightarrow F  + \overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_A}}  = 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}P = mg = 0,{05.10^{ - 3}}.10 = {5.10^{ - 4}}N\\{F_A} = DVg = {1.10^{ - 5}}.10 = {10^{ - 4}}N\end{array} \right. \to {F_A} < P\) => Lực điện  \(\overrightarrow F \) phải hướng lên và F = P - F_A = 4.10^-4N

Vì q > 0 => \(\overrightarrow E \) hướng lên.

\(E = \dfrac{F}{q} = \dfrac{{{{4.10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 9}}}} = {4.10^5}V/m\)

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là lực điện trường lúc đầu và lúc sau.

+ Các lực tác dụng lên quả cầu gồm trọng lực \(\overrightarrow P \) và lực điện \(\overrightarrow F \)

+ Lúc đầu quả cầu cân bằng: \(\overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_1}}  = 0 \to mg = qE\)

+ Khi độ lớn điện trường giảm đi một nửa thì : \({F_2} = \frac{{qE}}{2} = \frac{{mg}}{2}\)

Áp dụng định luật II-Newton, ta có:

\(\overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_2}}  = m\overrightarrow a \)

Chọn chiều dương hướng xuống,

\( \to mg - {F_2} = ma \to a = \frac{{mg - \frac{{mg}}{2}}}{m} = \frac{g}{2}\)

Lại có:

\(s = \frac{1}{2}a{t^2} \to t = \sqrt {\frac{{2{\rm{s}}}}{a}}  = \sqrt {\frac{{2.0,05}}{{\frac{{10}}{2}}}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}} \approx 0,1414{\rm{s}}\)

Các lực tác dụng lên quả cầu gồm: lực điện \(\overrightarrow F \) , trọng lực \(\overrightarrow P \)hướng xuống và lực đẩy Acsimét \(\overrightarrow {{F_A}} \)hướng lên.

+ Điều kiện cân bằng của quả cầu: \(\overrightarrow P  + \overrightarrow F  + \overrightarrow {{F_A}}  = 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}P = mg = {\rho _{vat}}Vg = {\rho _{vat}}\frac{4}{3}\pi {R^3}g\\{F_A} = {\rho _{mt}}Vg = {\rho _{mt}}\frac{4}{3}\pi {R^3}g\end{array} \right.\)

Ta có khối lượng riêng của vật lớn hơn \( \to P > {F_A} \to F = P - {F_A}\)

\(\begin{array}{l}F = P - {F_A} \leftrightarrow \left| q \right|E = P - {F_A}\\ \to \left| q \right| = \dfrac{{P - {F_A}}}{E} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}\left( {{\rho _{vat}} - {\rho _{mt}}} \right)}}{E} = 14,{7.10^{ - 6}}C\end{array}\)

=> Để vật cân bằng thì lực điện phải hướng lên

Ta có, lực ngược hướng với \(\overrightarrow E \) => q < 0

=> q = -14,7.10^-6C

Các lực tác dụng lên quả cầu gồm: lực điện \(\overrightarrow F \) , trọng lực \(\overrightarrow P \)hướng xuống và lực căng dây \(\overrightarrow T \).

Khi quả cầu cân bằng:

 \(\overrightarrow T  + \overrightarrow P  + \overrightarrow F  = 0 \to \overrightarrow T  + \overrightarrow {P'}  = 0\)

=> P‘ có phương sợi dây P‘ tạo với P một góc α = 30⁰

Từ hình ta có:

 \(\tan \alpha  = \frac{F}{P} = \frac{{\left| q \right|E}}{{mg}} = \tan {30^0} \to \left| q \right| = \frac{{mg\tan {{30}^0}}}{E} = \frac{{\sqrt 3 {{.10}^{ - 3}}.9,8.\tan {{30}^0}}}{{10000}} = 9,{8.10^{ - 7}}C\)

Gọi

       + \(\overrightarrow {{E_{3q}}} \) là điện trường tổng hợp tại O do $q$ và $4q$ gây ra.

       + \(\overrightarrow {{E_{ - 3q}}} \) là điện trường tổng hợp tại O do $-5q$ và $-2q$ gây ra.

       + \(\overrightarrow {{E_3}} \) là điện trường tổng hợp tại O do $q$ và $4q$ gây ra.

Các véctơ được biểu diễn như hình.

Ta có: \(\overrightarrow {{E_0}}  = \overrightarrow {{E_{ - 3q}}}  + \overrightarrow {{E_{3q}}}  + \overrightarrow {{E_3}}  = \overrightarrow {{E_{ - 33}}}  + \overrightarrow {{E_3}} \)

Vì => \(\overrightarrow {{E_{ - 33}}} \) cùng chiều \(\overrightarrow {{E_3}} \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{E_{ - 33}} = {E_3}\\\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_{ - 33}}}  + \overrightarrow {{E_3}} \end{array} \right. \to E = 2{E_3} = 2k\frac{{3q}}{{{r^2}}} = k\frac{{6q}}{{{r^2}}}\)

Để tại O cường độ điện trường tổng hợp bằng 0 thì: 

\(\overrightarrow {{E_{q'}}}  + \overrightarrow E  = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_{q'}}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow E  \to q' > 0\\{E_{q'}} = E \leftrightarrow k\dfrac{{\left| {q'} \right|}}{{{r^2}}} = k\dfrac{{6q}}{{{r^2}}} \to \left| {q'} \right| = 6q\end{array} \right. \to q' = 6q\)

Ta có:  \(E = \dfrac{{k\left| Q \right|}}{{{r^2}}} \Rightarrow E\sim\dfrac{1}{{{r^2}}} \Leftrightarrow r\sim\dfrac{1}{{\sqrt E }}\) 

\( \Rightarrow {r_2} = \dfrac{{{r_1} + {r_3}}}{2} \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {{E_2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{E_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{E_3}} }} \Rightarrow {E_2} = x = 16\) (V/m)

Cường độ điện trường tổng hợp tại M:

\(\overrightarrow {{E_M}}  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}} \,\,\left( 1 \right)\\{E_1} = {E_2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Do \({q_1};{q_2}\) trái dấu, để  \(\overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}} \) thì M nằm ngoài \({q_1};{q_2}\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}{q_1} =  - 9\mu C\\{q_2} = 4\mu C\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{q_1}} \right| > \left| {{q_2}} \right| \Rightarrow \) M nằm gần điện tích có độ lớn nhỏ hơn, tức là gần B hơn.

Biểu diễn các vecto cường độ điện trường gây ra tại O trên hình vẽ:

Ta có: \(\overrightarrow {{E_O}}  = \overrightarrow {{E_A}}  + \overrightarrow {{E_B}}  + \overrightarrow {{E_C}}  + \overrightarrow {{E_D}} \)

Với: \({E_A} = {E_B} = {E_C} = {E_D} = \dfrac{{k\left| q \right|}}{{O{A^2}}}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_A}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_C}} \\{E_A} = {E_C}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{E_{AC}}}  = \overrightarrow {{E_A}}  + \overrightarrow {{E_C}}  = 0\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_B}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_D}} \\{E_B} = {E_D}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{E_{BD}}}  = \overrightarrow {{E_B}}  + \overrightarrow {{E_D}}  = 0\)

Cường độ điện tường tổng hợp tại O là:

\(\overrightarrow {{E_O}}  = \left( {\overrightarrow {{E_A}}  + \overrightarrow {{E_C}} } \right) + \left( {\overrightarrow {{E_B}}  + \overrightarrow {{E_D}} } \right) = 0\)

Ta có \(AC = BC = 8 cm\) và \(AB = 10 cm\) nên C nằm trên đường trung trực của AB.

Cường độ điện trường tổng hợp tại C: \({\vec E_C} = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}} {\rm{ }}\)

Ta có: \({E_1} = {E_2} = \dfrac{{k.\left| {{q_1}} \right|}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{{{9.10}^9}{{.16.10}^{ - 8}}}}{{0,{{08}^2}}} = 2,{25.10^5}V/m\)

Từ hình vẽ ta có: \(E_C = 2E_1\cos \alpha = 2E_1.\dfrac{\sqrt{AC^2 - AH^2}}{AC}\)

\(\Rightarrow E_C = 2.2,25.10^5.\dfrac{\sqrt{8^2 - 5^2}}{8} = 3,51.10^5\,\,\left ( V/m \right )\)