Bài tập điện trường

Ta có:

$\overrightarrow F  = q\overrightarrow E$

Ta suy ra $F = \left| q \right|E = \left| { - {{3.10}^{ - 6}}} \right|.1,{2.10^4} = 0,036N$

Do $q < 0$ nên lực $\overrightarrow F$ có phương thẳng đứng, chiều ngược với chiều của $\overrightarrow E$.

Vậy, $F = 0,036N$ có phương thẳng đứng, chiều hướng từ dưới lên.

Gọi $\overrightarrow {{E_1}}$, $\overrightarrow {{E_2}}$ lần lượt là cường độ điện trường do điện tích ${q_1}$ và ${q_2}$ gây ra tại C.

Vì C nằm giữa A, B và cách B đoạn $3cm$ nên: $CA = 6cm$ và $CB = 3cm$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{r_1^2}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{C^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{{{3.10}^{ - 7}}}}{{{{\left( {0,06} \right)}^2}}} = 7,{5.10^5}V/m\\{E_2} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{r_2^2}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{C{B^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{{{3.10}^{ - 8}}}}{{{{\left( {0,03} \right)}^2}}} = {3.10^5}V/m\end{array} \right.$

Véctơ cường độ điện trường tổng hợp tại C: $\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}$

Ta  có, $\overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}}$ nên $E = \left| {{E_1} - {E_2}} \right| = \left| {7,{{5.10}^5} - {{3.10}^5}} \right| = 4,{5.10^5}V/m$

Vậy cường độ điện trường do ${q_1},{q_2}$ gây ra tại C có phương AB, chiều từ C đến B và độ lớn $4,{5.10^5}V/m$.

Ta có: $AN + AB = 60cm = BN$ nên $N,A,B$ thẳng hàng

+ Gọi $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ lần lượt là cường độ điện trường do điện tích ${q_1},{q_2}$ gây ra tại N

+ Các véctơ $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ được biểu diễn như hình

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{N^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{{{10}^{ - 6}}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^2}}} = 2,{25.10^5}V/m\\{E_2} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{N^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{{{10}^{ - 6}}}}{{{{\left( {0,6} \right)}^2}}} = 0,{25.10^5}V/m\end{array} \right.$

Véctơ cường độ điện trường tổng hợp tại N: $\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}$

Ta  có, $\overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}}$ nên $E = \left| {{E_1} - {E_2}} \right| = \left| {2,{{25.10}^5} - 0,{{25.10}^5}} \right| = {2.10^5}V/m$

Vậy cường độ điện trường do ${q_1},{q_2}$ gây ra tại N có độ lớn ${2.10^5}V/m$.

Gọi $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ lần lượt là cường độ điện trường do điện tích ${q_1},{q_2}$ gây ra tại A

+ Vì độ lớn hai điện tích bằng nhau và điểm A cách đều hai điện tích nên ta có:

${E_1} = {E_2} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{{r^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{6,{{4.10}^{ - 10}}}}{{0,{{08}^2}}} = 900V/m$

Gọi $\alpha  = \left( {\widehat {\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}} }} \right) = \widehat {BAC}$

Véctơ cường độ điện trường tổng hợp tại A: $\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}$

Ta có: $\widehat {\left( {\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}} } \right)} = {60^0}$

Suy ra: $E = \sqrt {E_1^2 + E_2^2 + 2{E_1}{E_2}cos\alpha }$

$\Rightarrow E = \sqrt {E_1^2 + E_1^2 + 2{E_1}{E_1}.\cos {{60}^0}}$  (do ${E_1} = {E_2}$)

$\Rightarrow E = {E_1}\sqrt 3  = 900\sqrt 3 V/m$

Nhận thấy $A{B^2} = A{C^2} + C{B^2} = {5^2}$

$\Rightarrow$ tam giác $ABC$ vuông tại $C$

Gọi $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ lần lượt là cường độ điện trường do điện tích ${q_1},{q_2}$ gây ra tại C.

Các véc-tơ $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ được biểu diễn như hình.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{r_1^2}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{C^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{{{16.10}^{ - 10}}}}{{0,{{04}^2}}} = 9000V/m\\{E_2} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{r_2^2}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{C{B^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{{{9.10}^{ - 10}}}}{{0,{{03}^2}}} = 9000V/m\end{array} \right.$

Gọi $\overrightarrow E$ là véc tơ cường độ điện trường tổng hợp tại $C$.

Ta có: $\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}$

Vì $\overrightarrow {{E_1}}  \bot \overrightarrow {{E_2}}$ 

$\Rightarrow E = \sqrt {E_1^2 + E_2^2}  = \sqrt {{{9000}^2} + {{9000}^2}}  = 9000\sqrt 2 V/m$

Gọi $H$ - trung điểm của cạnh $AB$

Gọi $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}} ,\overrightarrow {{E_3}}$ lần lượt là cường độ điện trường do điện tích ${q_1},{q_2},{q_3}$ gây ra tại $H$

Ta có, các véc-tơ $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}} ,\overrightarrow {{E_3}}$ được biểu diễn như hình

Ta có: ${E_1} = {E_2} = k\dfrac{{\left| q \right|}}{{{{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}}$

${E_3} = k\dfrac{{\left| q \right|}}{{C{H^2}}}$

Lại có:

$\begin{array}{l}CH = \sqrt {C{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {C{B^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{10}^2} - \dfrac{{{{10}^2}}}{4}}  = 5\sqrt 3 cm\end{array}$

Ta suy ra: ${E_3} = {9.10^9}\dfrac{{{{10.10}^{ - 9}}}}{{{{\left( {5\sqrt 3 {{.10}^{ - 2}}} \right)}^2}}} = 12000V/m$

Ta có, cường độ điện trường tổng hợp tại $H$: $\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  + \overrightarrow {{E_3}}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}} \\{E_1} = {E_2}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{E_{12}}}  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = \overrightarrow 0$

Ta suy ra: $\overrightarrow E  = \overrightarrow {{E_3}}$

$\Rightarrow E = {E_3} = 12000V/m$ 

Gọi $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ và $\overrightarrow {{E_3}}$ lần lượt là cường độ điện trường do ${q_1},{q_2},{q_3}$ gây ra tại $D$.

Điều kiện để cường độ điện trường tổng hợp tại $D$ bằng $0$ là: $\overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  + \overrightarrow {{E_3}}  = \overrightarrow 0$

Do ${q_2} < 0$ nên $\overrightarrow {{E_2}}$ hướng về $B$  như hình.

Muốn cường độ điện trường tổng hợp tại $D$ bằng $0$ thì $\overrightarrow {{E_{13}}}$ phải cùng phương ngược chiều và có độ lớn bằng ${E_2}$.

Do đó, $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_3}}$ và $\overrightarrow {{E_{1,3}}}$ có phương chiều như hình vẽ trên.

 Từ hình vẽ, ta có: 

Với $\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  = \dfrac{{AD}}{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{3}{5}\\\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{4}{5}\end{array} \right.$

Lại có, ${E_2} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{A{D^2}}} = {9.10^9}\dfrac{{12,{{5.10}^{ - 8}}}}{{0,{{05}^2}}} = 450000V/m = {45.10^4}V/m$

Thay vào (1), ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = {45.10^4}.\dfrac{3}{5} = {27.10^4}V/m\\{E_3} = {45.10^4}.\dfrac{4}{5} = {36.10^4}V/m\end{array} \right.$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{D^2}}} \Rightarrow \left| {{q_1}} \right| = 2,{7.10^{ - 8}}C\\{E_3} = k\dfrac{{\left| {{q_3}} \right|}}{{C{D^2}}} \Rightarrow \left| {{q_3}} \right| = 6,{4.10^{ - 8}}C\end{array} \right.$

Từ hình, thấy các véc-tơ $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_3}}$ hướng ra xa các điện tích nên ${q_1}$ và ${q_3}$ là các điện tích dương, do đó ta suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}{q_1} = 2,{7.10^{ - 8}}C\\{q_2} = 6,{4.10^{ - 8}}C\end{array} \right.$

+ Gọi điểm cần tìm là $C$ mà tại đó cường độ điện trường do ${q_1}$ và ${q_2}$ gây ra lần lượt là $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$

+ Theo đề bài ta có: $\overrightarrow {{E_1}}  =  - 3\overrightarrow {{E_2}}$  (1)

Ta suy ra: $\overrightarrow {{E_1}}$ cùng phương nhưng ngược chiều với $\overrightarrow {{E_2}}$

$\Rightarrow$  $C$ thuộc đường thẳng $AB$.

+ Do ${q_1}$ và ${q_2}$ cùng dấu $\Rightarrow C$ nằm trong đoạn $AB$

$\Rightarrow CA + CB = AB = 60cm$  (2)

Từ (1), ta có:

${E_1} = 3{E_2} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{C{A^2}}} = 3k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{C{B^2}}}$

 $\Leftrightarrow \dfrac{{CB}}{{CA}} = \sqrt {3\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{\left| {{q_1}} \right|}}}  = \sqrt {3.\dfrac{{{{3.10}^{ - 9}}}}{{{{10}^{ - 9}}}}}  = 3$  (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}CA = 15cm\\CB = 45cm\end{array} \right.$

+ Gọi $\overrightarrow {{E_1}} ,\overrightarrow {{E_2}}$ lần lượt là cường độ điện trường do ${q_1}$ và ${q_2}$ gây ra tại $N$.

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}{E_1} = {E_2}\\ \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{N^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{N^2}}}\end{array}$

 $\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{BN}} = \sqrt {\dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{\left| {{q_2}} \right|}}}  = \sqrt {\dfrac{{{{10}^{ - 7}}}}{{2,{{5.10}^{ - 8}}}}}  = 2$  (1)

+ Vì $A,B,N$ thẳng hàng nên có 2 trường hợp xảy ra:

- Nếu N nằm trong AB thì: $NA + NB = 60cm$  (2)

- Nếu N nằm ngoài AB thì: $\left| {NA - NB} \right| = 60cm$  (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}NA = 40cm\\NB = 20cm\end{array} \right.$

Từ (1) và (3) ta suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}NA = 120cm\\NB = 60cm\end{array} \right.$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{E_1} = {E_3} = k\dfrac{{\left| q \right|}}{{{a^2}}}\\{E_{13}} = \sqrt {E_1^2 + E_3^2}  = \sqrt 2 {E_1}\end{array} \right.$

Để ${E_D} = 0 \to \overrightarrow {{E_{13}}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_{13}}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}}  \to {q_2} > 0\\{E_{13}} = {E_2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}{E_2} = {E_{13}} \leftrightarrow {E_2} = \sqrt 2 {E_1}\\ \leftrightarrow k\dfrac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = k\dfrac{{\sqrt 2 \left| {{q_1}} \right|}}{{{{\left( a \right)}^2}}}\\ \to \left| {{q_2}} \right| = 2\sqrt 2 \left| {{q_1}} \right|\end{array}$

Do ${q_1} = q < 0$ mà ${q_2} > 0$ $\to {q_2} =  - 2\sqrt 2 q$

$0,8c{m^3} = {8.10^{ - 7}}{m^3}$

$m = 2mg = {2.10^{ - 3}}g = {2.10^{ - 6}}kg$

Ta có, các lực tác dụng lên quả cầu gồm: lực điện $\overrightarrow F$ , trọng lực $\overrightarrow P$ hướng xuống và lực đẩy Acsimét $\overrightarrow {{F_A}}$hướng lên.

$\overrightarrow F  + \overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_A}}  = 0$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P = mg = {2.10^{ - 6}}.10 = {2.10^{ - 5}}N\\{F_A} = DVg = {1.8.10^{ - 7}}.10 = {8.10^{ - 6}}N\end{array} \right.\\ \to {F_A} < P\end{array}$

 => Lực điện  $\overrightarrow F$ phải hướng lên và $F{\rm{ }} = {\rm{ }}P{\rm{ }} - {\rm{ }}{F_A} = {\rm{ }}{2.10^{ - 5}} - {8.10^{ - 6}} = 1,{2.10^{ - 5}}N$

Vì  $q > 0 \Rightarrow$ $\overrightarrow E$ hướng lên.

$E = \dfrac{F}{q} = \dfrac{{1,{{2.10}^{ - 5}}}}{{{{10}^{ - 9}}}} = 12000V/m$

Gọi $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ lần lượt là lực điện trường lúc đầu và lúc sau.

+ Các lực tác dụng lên quả cầu gồm trọng lực $\overrightarrow P$ và lực điện $\overrightarrow F$

+ Lúc đầu quả cầu cân bằng: $\overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_1}}  = 0 \to mg = qE$

+ Khi độ lớn điện trường giảm đi một nửa thì : ${F_2} = \dfrac{{qE}}{2} = \dfrac{{mg}}{2}$

Áp dụng định luật II-Newton, ta có: $\overrightarrow P  + \overrightarrow {{F_2}}  = m\overrightarrow a$

Chọn chiều dương hướng xuống,

$\to mg - {F_2} = ma \to a = \dfrac{{mg - \dfrac{{mg}}{2}}}{m} = \dfrac{g}{2}$

Lại có: $s = \dfrac{1}{2}a{t^2} \to t = \sqrt {\dfrac{{2{\rm{s}}}}{a}}  = \sqrt {\dfrac{{2.0,02}}{{\dfrac{{10}}{2}}}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}} \approx 0,0894{\rm{s}}$

Ta có, các lực tác dụng lên quả cầu gồm: Trọng lực $\overrightarrow P$, lực căng dây $\overrightarrow T$, lực điện trường $\overrightarrow F$ được biểu diễn như hình sau:

+ Điều kiện căn bằng của quả cầu: $\overrightarrow P  + \overrightarrow F  + \overrightarrow T  = \overrightarrow 0$

Gọi $\overrightarrow R$ là véc-tơ tổng hợp của của $\overrightarrow P$ và $\overrightarrow F$

Ta có: $\overrightarrow R  = \overrightarrow P  + \overrightarrow F  = \overrightarrow T$

$\Rightarrow \overrightarrow R  + \overrightarrow T  = \overrightarrow 0$

Suy ra $\overrightarrow R$ có phương sợi dây

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{F}{P} = \dfrac{{qE}}{{mg}} = \dfrac{{2,{{5.10}^{ - 9}}{{.10}^6}}}{{0,{{25.10}^{ - 3}}.10}} = 1\\ \Rightarrow \alpha  = {45^0}\end{array}$

Gọi M là điểm để cường độ điện trường triệt tiêu, khi đó:

$\overrightarrow {{E_M}}  = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}}  = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{E_1}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{E_2}} \,\,\left( 1 \right)\\{E_1} = {E_2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}BM - AM = AB\\\dfrac{{A{M^2}}}{{B{M^2}}} = \dfrac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{{q_2}}} = \dfrac{9}{{16}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM - BM = 12cm\\\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = 36cm\\BM = 48cm\end{array} \right.$

$E = k\dfrac{{\left| q \right|}}{{\varepsilon {r^2}}} = {9.10^9}.\frac{{{{4.10}^{ - 8}}}}{{0,{{03}^2}}} = {4.10^5}V/m$

Ta có $AC = BC = 12 cm$ và $AB = 10 cm$ nên C nằm trên trung trực của AB.

Cường độ điện trường tổng hợp tại C: ${\vec E_C} = \overrightarrow {{E_1}}  + \overrightarrow {{E_2}} {\rm{ }}$

Ta có: ${E_1} = {E_2} = \dfrac{{k.\left| {{q_1}} \right|}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{{{9.10}^9}{{.6.10}^{ - 6}}}}{{0,{{12}^2}}} = 3,{75.10^6}V/m$

Từ hình vẽ ta có:

$E_C = 2E_1\cos \alpha = 2.3,75.10^6.\dfrac{5}{12} = 3,125.10^6\,\,\left ( V/m \right )$

Ta có, cường độ điện trường:  

$E = k\frac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}} = {9.10^9}\frac{{{{2.10}^{ - 8}}}}{{1.{{\left( {0,03} \right)}^2}}} = {2.10^5}V/m$

=> E = 2.10⁵ V/m.

Ta có, cường độ điện trường:

 $E = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}} \to \left| Q \right| = \dfrac{{{\rm{E}}{\rm{.}}{{\rm{r}}^{\rm{2}}}.\varepsilon }}{k} = \dfrac{{{\rm{3}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^4}{\rm{.0,}}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}.1}}{{{{9.10}^9}}} = {3.10^{ - 7}}C$

Ta có, cường độ điện trường E:

 $E = \dfrac{F}{{\left| q \right|}} = \dfrac{{{{3.10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 7}}}} = {3.10^4}V/m = {3.10^2}V/cm$

Ta có, cường độ điện trường E:

$E = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}}$

    + Tại vị trí cách cách điện tích điểm Q 1 khoảng $r = 2cm = 0,02m$ thì:

${E_1} = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}} = {10^5}V/m$

    + Gọi vị trí cách điện tích để cường độ điện trường E₂ = 4.10⁵ V/m là r’

Ta có:

${E_2} = k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .r{'^2}}} = {4.10^5}V/m$

$\to \dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \dfrac{{k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .{r^2}}}}}{{k\dfrac{{\left| Q \right|}}{{\varepsilon .r{'^2}}}}} \\= \dfrac{{r{'^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{{{{10}^5}}}{{{{4.10}^5}}} \\\to r' = r\sqrt {\dfrac{{{{10}^5}}}{{{{4.10}^5}}}}  = 0,02.\sqrt {\dfrac{{{{10}^5}}}{{{{4.10}^5}}}}  \\= 0,01m = 1cm$