Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác chi tiết sách Toán 11 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giải Toán 11 trang 5
Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?
Lời giải:
Kim giây đã quét một góc với tia đầu Ou chỉ vào số 3, tia cuối Ov chỉ vào số 6 (hình vẽ trên), góc này là một góc lượng giác.
Những góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì có số đo hơn kém nhau k360° (hay k2π).
I. Góc lượng giác
Hoạt động 1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng
Lời giải:
Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.
Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).
Giải Toán 11 trang 6
Lời giải:
Ta có: ; ;
;
Ta có bảng chuyển đổi như sau:
Hoạt động 2 trang 6 Toán 11 Tập 1: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:
a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.
b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.
Lời giải:
a) Chiều quay của kim đồng hồ ngược chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.
b) Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.
Giải Toán 11 trang 5
Lời giải:
Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot.
b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
Lời giải:
a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.
b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là vòng) thì tia đó quét nên một góc là .
c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.
Giải Toán 11 trang 8
Lời giải:
Ta có: .
Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:
Lời giải:
Quan sát Hình 7 ta thấy:
• Tia Om quay (chẳng hạn theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối Ov;
• Tia Om quay (chẳng hạn theo chiều dương) xuất phát từ tia O’u’ ≡ Ou đến trùng với tia O’v’ ≡ Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối O’v’ ≡ Ov.
Như vậy, sự khác biệt giữa hai góc lượng giác (Ou, Ov), (O’u’, O’v’) chính là số vòng quay quanh điểm O.
Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác đó chính là bội nguyên của 360° khi hai góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của 2π rad khi hai góc đó tính theo đơn vị radian).
Giải Toán 11 trang 9
Lời giải:
Gọi α là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng .
Khi đó, ta có: α = , với k là số nguyên.
Lời giải:
Do tia Oy nằm trong góc xOz nên .
Lời giải:
Theo hệ thức Chasles, ta có:
(Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) + k2π
(k ∈ ℤ).
II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giải Toán 11 trang 10
b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.
Lời giải:
a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):
b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.
Luyện tập 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = .
Lời giải:
Ta có (OA, ON) = là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc .
Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = được biểu diễn như hình dưới đây:
b) So sánh: hoành độ của điểm M với cos60°; tung độ của điểm M với sin60°.
Lời giải:
a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:
b) Ta có và cos600=;sin 600=
Do đó xM = cos60° và yM = sin60°.
Giải Toán 11 trang 11
Luyện tập 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác .
Lời giải:
Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = β = (hình vẽ).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.
Khi đó, ta có: , suy ra .
Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:
;
.
Do đó .
Vậy .
Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒30°.
Lời giải:
Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°.
Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:
Khi đó ta có xM > 0 và yM < 0
Suy ra cosα > 0 và sinα < 0
Do đó và .
Luyện tập 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác.
Lời giải:
Giả sử điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho.
Do nên điểm M nằm trong góc phần tư thứ II
Do đó .
Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α. So sánh:
a) cos2α + sin2α và 1;
b) tanα . cotα và 1 (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0);
c) và với cosα ≠ 0;
d) và với sinα ≠ 0.
Lời giải:
a)
Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).
Gọi H, K lầm lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.
Khi đó ta có:.
Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
OM2 = OH2 + MH2
Suy ra hay.
Vậy cos2α + sin2α= 1.
b) Ta có ', (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)
Suy ra
c) Với cosα ≠ 0, ta có:
(do cos2α + sin2α= 1).
d) Với sinα ≠ 0, ta có:
(do cos2α + sin2α= 1).
Giải Toán 11 trang 12
Luyện tập 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α sao cho và . Tìm cosα.
Lời giải:
Do nên cosα < 0.
Áp dụng công thức cos2α + sin2α= 1, ta có:
Suy ra
Do đó (do cosα < 0).
Khi đó và .
Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = 45°.
Lời giải:
Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = 45° (hình vẽ).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.
Khi đó, ta có: .
Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:
;
.
Do đó .
Vậy .
Luyện tập 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải:
Ta có:
.
Giải Toán 11 trang 13
a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.
b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α.
Lời giải:
a) Nhận xét: xM = xM’ và yM = ‒yM’.
b) Do xM = xM’ nên cosα = cos(‒α)
Do yM = ‒yM’ nên sinα = ‒sin(‒α).
Khi đó ; .
Giải Toán 11 trang 14
Luyện tập 11 trang 14 Toán 11 Tập 1: Tính:
a) ;
b) tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°.
Lời giải:
Ta có:
a)
.
b) tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°
= (tan1° . tan89°) . (tan2° . tan88°) . tan45°
= (tan1° . cot1°) . (tan2° . cot2°) . tan45°
= 1 . 1 . 1 = 1.
Luyện tập 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính:
a) tan(‒75°);
b) .
Lời giải:
a)
b) Ta có:
Vậy.
Bài tập
Giải Toán 11 trang 15
Lời giải:
• Ta có là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc , khi đó tia OM trùng với tia OB.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho được biểu diễn trùng với điểm B.
• Ta có (OA,ON)= là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc .
• Ta có (OA,OP) = là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc .
Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:
Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; .
Lời giải:
‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:
Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = ;
sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° = ;
tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;
cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.
‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:
Ta có: cos(‒225°) = cos225° = ;
sin(‒225°) = ‒sin225° = ;
tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;
cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;
‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:
Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = ;
sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° = ;
tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;
cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.
‒ Các giá trị lượng giác của góc :
Ta có: ;
;
;
.
‒ Các giá trị lượng giác của góc :
Ta có: ;
;
Do nên không xác định;
.
‒ Các giá trị lượng giác của góc :
Ta có: ;
;
;
.
Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:
a) ;
b) kπ (k ∈ ℤ);
c) ;
d) .
Lời giải:
a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác :
• ;
• ;
• ;
• .
b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):
‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:
• cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;
• sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;
• tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;
• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.
‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:
• cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.
• sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.
• tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.
• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.
Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;
cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.
c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác :
‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:
• ;
•;
• Do nên không xác định;
• .
‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:
• ;
• ;
• Do nên không xác định;
•.
Vậy với k ∈ ℤ thì ;
không xác định;
khi k là số chẵn và khi k là số lẻ.
d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác :
‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:
• ;
• ;
• ;
• .
‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:
•
• ;
• ;
• .
Vậy với k ∈ ℤ thì:
khi k là số nguyên chẵn, khi k là số nguyên lẻ;
khi k là số nguyên chẵn, khi k là số nguyên lẻ;
; .
Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:
a) với ;
b) với ;
c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;
d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.
Lời giải:
a) Do nên cosα < 0.
Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:
(do cosα < 0).
Ta có: ;
.
Vậy ; và .
b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.
Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:
.
(do sinα < 0).
Ta có: ;
.
Vậy ; và .
c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0.
Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có .
Áp dụng công thức , ta có
hay
(do cosα > 0).
Áp dụng công thức , ta có:
hay
(do sinα < 0).
Vậy ; ; .
Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính:
a) A = sin25° + sin210° + sin215° + ... + sin285° (17 số hạng).
b) B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos175° (35 số hạng).
Lời giải:
a) Ta có:
A = sin25° + sin210° + sin215° + ... + sin280°+ sin285° (17 số hạng).
= (sin25° + sin285°) + (sin210° + sin280°) + … + (sin240° + sin250°) + sin245°
= (sin25° + cos25°) + (sin210° + cos210°) + … + (sin240° + cos240°) + sin245°
.
b) Ta có:
B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos170° + cos175° (35 số hạng).
= (cos5° + cos175°) + (cos10° + cos170°) + … + (cos85° + cos95°) + cos90°
= (cos5° ‒ cos5°) + (cos10° ‒ cos10°) + … + (cos85° ‒ cos85°) + cos90°
.
a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.
b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:
a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.
Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:
2π . 9 000 = 18π (km).
Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: .
Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: .
Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: .
b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9π (km) trong 1h.
Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là: (giờ).
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác
Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị