Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 Cánh diều | Giải bài tập Toán lớp 11

52 lượt xem

Với giải Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài tập cuối chương 3 trang 79 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 3 trang 79

Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Lời giải:

Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

p₂ = $p_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} . (3 a) = \frac{1}{2} . p_{1}$ ;

p₃ = $p_{Δ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {(\frac{1}{2})}^{2} . (3 a) = {(\frac{1}{2})}^{2} . p_{1}$ ; ...; $p_{Δ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . p_{1}$ ; ...

Suy ra:

$\lim_{n \to \infty} p_{n} = \lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1} . (3 a)) = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . \lim_{n \to \infty} (3 a) = 0.3 a = 0$ .

+) (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Ta có: S₁ = S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ ah; S₂ = $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{h}{2} = \frac{1}{4} . (\frac{1}{2} a h) = \frac{1}{4} . S_{1}$ ;

S₃ = $S_{Δ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{1}{2} . \frac{a}{4} . \frac{h}{4} = {(\frac{1}{4})}^{2} . (\frac{1}{2} a h) = {(\frac{1}{4})}^{2} . S_{1}$ ; ...; $S_{Δ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . S_{1}$ ; ...

Suy ra $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{4})}^{n - 1} . S_{1}) = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{4})}^{n - 1} . \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} a h) = 0. \frac{1}{2} a h = 0$ .

b) +) Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$P_{n} = p_{1} + p_{2} + ... + p_{n} + ... = \frac{3 a}{1 - \frac{1}{2}} = 6 a$ .

+) Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = $\frac{1}{2}$ ah và công bội q = $\frac{1}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$S_{n} = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n} + ... = \frac{\frac{1}{2} a h}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} a h$ .

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 11 Sách cánh diều