Điểm và đường thẳng

Ba đường thẳng đôi một không có giao điểm nghĩa là:

+ \(a,b\) không có giao điểm hay \(a\) song song \(b\)

+ \(b,c\) không có giao điểm hay \(b\) song song \(c\)

+ \(a,c\) không có giao điểm hay \(a\) song song \(c\)

Vậy ba đường thẳng đôi một song song.

Điểm \(B\) thuộc các đường thẳng là \(m,p\)

Vậy có \(2\) đường thẳng đi qua \(B\)

Điểm \(D\) thuộc các đường thẳng là: \(n,q\)

+ Đường thẳng \(n\) không đi qua \(E\)

+ Đường thẳng \(q\) đi qua \(E\)

Vậy chỉ có \(1\) đường thẳng đí qua \(D\) và không đi qua \(E\)

Trên hình vẽ, các đường thẳng đi qua điểm \(F\) là \(n,p\)

Vậy có \(2\) đường thẳng cần tìm.

Tất cả các đường thẳng đi qua:

+ Điểm \(A:\) \(m,n\) nên có \(2\) đường thẳng qua \(A\)

+ Điểm \(B:\) \(m,p\) nên có \(2\) đường thẳng qua \(B\)

+ Điểm \(C:\) \(m,q\) nên có \(2\) đường thẳng qua \(C\)

+ Điểm \(D:\) \(n,q\) nên có \(2\) đường thẳng qua \(D\)

+ Điểm \(E:\) \(p,q\) nên có \(2\) đường thẳng qua \(E\)

+ Điểm \(F:\) \(n,p\) nên có \(2\) đường thẳng qua \(F\)

Vậy tất cả \(6\) điểm \(A,B,C,D,E,F\) đều chỉ thuộc hai đường thẳng.

Trên hình vẽ, các điểm thuộc đường thẳng:

+ \(m\) là \(A,B,C\) nên có \(3\) điểm thuộc \(m\)

+ \(n\) là \(A,F,D\) nên có \(3\) điểm thuộc \(n\)

+ \(p\) là \(B,F,E\) nên có \(3\) điểm thuộc \(p\)

+ \(q\) là \(C,D,E\) nên có \(3\) điểm thuộc \(q\)

Vậy có tất cả \(4\) đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua \(3\) điểm trong hình.

Các bộ ba điểm thẳng hàng trong hình vẽ là:

\(\left( {A,I,H} \right),\left( {B,I,K} \right),\) \(\left( {A,K,C} \right),\left( {B,H,C} \right).\)

Vậy có \(4\) cặp điểm thỏa mãn bài toán.

Gọi các điểm đó có tên lần lượt là \({A_1},...,{A_{100}}\)

+ Qua điểm \({A_1}\) và \(99\) điểm còn lại ta vẽ được \(99\) đường thẳng.

 + Qua điểm \({A_2}\) và \(99\) điểm còn lại ta vẽ được \(99\) đường thẳng.

…

+ Qua điểm \({A_{100}}\) và \(99\) điểm còn lại ta vẽ được \(99\) đường thẳng.

Do đó có \(100.99 = 9900\) đường thẳng.

Tuy nhiên mỗi đường thẳng lại được tính hai lần nên số đường thẳng được tạo thành là: \(9900:2 = 4950\) (đường thẳng)

Các bộ ba điểm trong hình vẽ là:

\(\left( {M,N,P} \right),\left( {M,N,Q} \right),\) \(\left( {M,P,Q} \right),\left( {N,P,Q} \right)\)

Vậy có \(4\) bộ ba điểm không thẳng hàng.

Gọi số điểm cần tìm là \(n\) điểm \(\left( {n \in {N^*}} \right)\)

Ta gọi tên các điểm là \({A_1},{A_2},...,{A_n}\)

+ Qua điểm \({A_1}\) và \(n - 1\) điểm còn lại ta vẽ được \(n - 1\) đường thẳng.

 + Qua điểm \({A_2}\) và \(n - 1\) điểm còn lại ta vẽ được \(n - 1\) đường thẳng.

…

+ Qua điểm \({A_n}\) và \(n - 1\) điểm còn lại ta vẽ được \(n - 1\) đường thẳng.

Do đó có \(n.\left( {n - 1} \right)\) đường thẳng.

Tuy nhiên, mỗi đường thẳng được tính \(2\) lần nên số đường thẳng được tạo thành là: \(n\left( {n - 1} \right):2\) (đường thẳng)

Theo bài ra:

\(n\left( {n - 1} \right):2 = 21\)

\(n\left( {n - 1} \right) = 21.2\)

\(n\left( {n - 1} \right) = 42 = 7.6\)

Vậy \(n = 7\)

Hình A: Có đường thẳng $m$ cắt đường thẳng $n$ tại $A,$ đường thẳng $a$ cắt đường thẳng $m$ tại $B$ nhưng không cắt đường thẳng $n$ (trái với đề bài là $a$ cắt $n$ tại $B$ ) (loại) 
Hình B: Đường thẳng $m$ cắt đường thẳng $n$ tại $A,{\rm{ }}a$ cắt m tại $C,$ cắt $n$ tại $B$ (trái với đề bài là $a$ không cắt $m$) (loại) 
Hình C: Đường thẳng $m$ cắt đường thẳng $n$ tại $A,$ đường thẳng $a$ cắt đường thẳng $n$ tại $B$ và $a$ không cắt $m$  (thỏa mãn) 

Hình D: Đường thẳng $a$ cắt đường thẳng $m$ tại $B$ (trái với đề bài là \(a\) không cắt \(m\))  (loại) 

Có \(5\) đường thẳng phân biệt là: \(MR,RN,NQ,QP,PM\)

Quan sát hình vé ta thấy các điểm thuộc chỉ \(2\) đường thẳng là:

\(A,B,C,D,E,\) \(M,N,P,Q,R\)

Vậy có \(10\) điểm là giao điểm của hai đường thẳng.

Quan sát hình vẽ ta thấy không có điểm nào mà có cả \(3\) đường thẳng đi qua.

Vì ba điểm \(A,B,C\) thuộc \(d\) và \(B,C,D\) thẳng hàng nên \(D \in d\)

Mà \(C,D \in d\) nên nếu \(C,D,O\) không thẳng hàng thì \(O \notin d\)

Vậy điểm \(O\) không thuộc đường thẳng \(d\)

Từ hình vẽ ta thấy hai đường thẳng \(a,b\) không có điểm chung nên chúng song song.

Hai đường thẳng \(a,c\) có điểm \(M\) chung hay hai đường thẳng \(a,c\) không song song.

Hai đường thẳng \(b,c\) có điểm \(N\) chung hay hai đường thẳng \(b,c\) không song song.

Ngoài ra hai đường thẳng \(MN\) và \(c\) trùng nhau nên chúng cũng không song song.

Hai đường thẳng \(a,c\) có điểm \(M\) chung.

Hai đường thẳng \(b,c\) có điểm \(N\) chung.

Có $6$ cách viết tên đường thẳng đi qua $3$ điểm $D,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ là đường thẳng $DE,$ đường thẳng $DF,$ đường thẳng $ED,$ đường thẳng $EF,$ đường thẳng $FE,$ đường thẳng $FD.$

Trong hình có 4 đường thẳng phân biệt, đó là đưởng thẳng $DE,$ đưởng thẳng $GD,$ đưởng thẳng $GE,$ đưởng thẳng $GF.$