Tương tác giữa hai dòng điện song song

- Xác định lực từ do dòng I₂, I₃ tác dụng lên I₁ ta có:

Ta có:

+ ${F_{21}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_1}{I_2}}}{{{r_{21}}}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{10.20}}{{0,04}} = {10^{ - 3}}A$

+ ${F_{31}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_3}{I_1}}}{{{r_{31}}}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{10.20}}{{0,04 + 0,04}} = {5.10^{ - 4}}A$

Lực từ tác dụng lên 1m chiều dài của I₁ có giá trị là:

$F = {F_{21}} - {F_{31}} = {10^{ - 3}} - {5.10^{ - 4}} = {5.10^{ - 4}}N$

Ta có:

+ ${r_{13}} = {r_{23}} = \sqrt {{d^2} + {{\left( {\frac{{{r_{12}}}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( {\frac{{20}}{2}} \right)}^2}}  = 10\sqrt 2 cm$

+ ${F_{13}} = {F_{23}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_1}{I_3}}}{{{r_{13}}}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{20.10}}{{0,1\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 {.10^{ - 4}}N$

+ $r_{12}^2 = r_{13}^2 + r_{23}^2 - 2{{\rm{r}}_{13}}{r_{23}}{\rm{cos}}\alpha  \to {\rm{cos}}\alpha  = \frac{{r_{13}^2 + r_{23}^2 - r_{12}^2}}{{2{{\rm{r}}_{13}}{r_{23}}}} = 0$

$\to {F_{13}} \bot {F_{23}} \to {F_3} = \sqrt {F_{13}^2 + F_{23}^2}  = {F_{13}}\sqrt 2  = \sqrt 2 .2\sqrt 2 {.10^{ - 4}} = {4.10^{ - 4}}N$

Ta có: Lực từ tác dụng lên mỗi đơn vị chiều dài dây: $F = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I^2}}}{r} \to r = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I^2}}}{F} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{1^2}}}{{{{2.10}^{ - 5}}}} = 0,01m = 1cm$

Ta có, 2 dòng I₁ và I₂ ngược chiều nhau => lực tương tác là lực đẩy $F = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_1}{I_2}}}{r} = {2.10^{ - 7}}\frac{{15.10}}{{0,15}} = {2.10^{ - 4}}N$

Ta có: 2 dòng ngược chiều nhau => lực tương tác là lực đẩy

$F = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_1}{I_2}}}{r} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{5^2}}}{{0,04}} = 1,{25.10^{ - 4}}N$

Ta có:

${F_{12}} = {2.10^{ - 7}}\dfrac{{{I_1}{I_2}}}{a}$

${F_{32}} = {2.10^{ - 7}}\dfrac{{{I_3}{I_2}}}{a}$

Theo đầu bài ta có: ${I_1} > {I_3} \to {F_{12}} > {F_{23}}$

Muốn dây 2 dịch sang phải thì F₁₂ phải hướng sang phải

=> F₁₂ là lực đẩy => I₁ và I₂ ngược chiều nhau

=> I₂ hướng lên

Ta có:

$\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {{F_{13}}}  + \overrightarrow {{F_{23}}}  = 0 \to \overrightarrow {{F_{13}}}  =  - \overrightarrow {{F_{23}}}$  

=> I₁, I₂ cùng chiều và ${F_{13}} = {F_{23}}$

=> I₃ phải nằm giữa I₁ và I₂

+ ${F_{13}} = {F_{23}} \to \frac{{{I_1}}}{{{r_{13}}}} = \frac{{{I_2}}}{{{r_{23}}}} \to {r_{13}} = 0,5{{\rm{r}}_{23}}$

Mặt khác, ta có: ${r_{13}} + {r_{23}} = 30cm$

$\to \left\{ \begin{array}{l}{r_{13}} = 10cm\\{r_{23}} = 20cm\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}{F_{21}} = {F_{31}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_1}{I_2}}}{{{r_{21}}}} = {5.10^{ - 4}}N\\F = 2{F_{21}}{\rm{cos3}}{{\rm{0}}^0} = 5\sqrt 3 {.10^{ - 4}}N\end{array}$

$\begin{array}{l}{r_{13}} = {r_{23}} = \sqrt {{d^2} + \frac{{r_{12}^2}}{4}}  = 0,2\sqrt 2 m\\{I_1} = {I_2} \to {F_{13}} = {F_{23}} = {2.10^{ - 7}}\frac{{{I_1}{I_3}}}{{{r_{13}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{.10^{ - 4}}N\\{\rm{cos}}\beta {\rm{ = }}\frac{d}{{{r_{23}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \to \beta  = {45^0}\\ \to F = 2{F_{23}}{\rm{cos4}}{{\rm{5}}^0} = {10^{ - 4}}N\end{array}$

$\begin{array}{l}{r_{13}} = {r_{23}} = \sqrt {{d^2} + \dfrac{{r_{12}^2}}{4}} \\{I_1} = {I_2} \to {F_{13}} = {F_{23}} = {2.10^{ - 7}}\dfrac{{{I_1}{I_3}}}{{{r_{13}}}} = {2.10^{ - 5}}\dfrac{1}{{\sqrt {{d^2} + 0,04} }}\\{\rm{cos}}\beta {\rm{ = }}\dfrac{d}{{{r_{23}}}} = \dfrac{d}{{\sqrt {{d^2} + 0,04} }}\\ \to F = 2{F_{23}}{\rm{cos}}\beta  = {2.2.10^{ - 5}}\dfrac{1}{{\sqrt {{d^2} + 0,04} }}.\dfrac{d}{{\sqrt {{d^2} + 0,04} }} = \dfrac{{{{4.10}^{ - 5}}d}}{{{d^2} + 0,04}} = \dfrac{{{{4.10}^{ - 5}}}}{{d + \dfrac{{0,04}}{d}}}\end{array}$

Ta có: Fmax khi: ${\left[ {d + \dfrac{{0,{2^2}}}{d}} \right]_{{\rm{min}}}}$

Xét: $d + \dfrac{{0,04}}{d} \ge 2\sqrt {d.\dfrac{{0,04}}{d}}  = 0,4$

Dấu “ = ” xảy ra khi: $d = \dfrac{{0,04}}{d} \to d = 0,2m$

Biểu diễn vec tơ cảm ứng từ tổng hợp tại M do hai dòng điện gây ra như hình vẽ.

Ta có: $\overrightarrow{{{B}_{M}}}=\overrightarrow{{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{2}}}$

Vì $\overrightarrow{{{B}_{1}}},\overrightarrow{{{B}_{2}}}$ song song và ngược chiều nhau nên

            B_M = |B₁ – B₂|

Mà ${{B}_{1}}={{2.10}^{-7}}\frac{{{I}_{1}}}{M{{O}_{1}}}={{12.10}^{-6}}T;{{B}_{2}}={{2.10}^{-7}}\frac{{{I}_{2}}}{M{{O}_{2}}}={{6.10}^{-6}}T$

Nên B_M = 6.10^-6T

Cảm ứng từ do I₁ và I₂ gây ra tại M là

 ${B_1} = {2.10^{ - 7}}.{{{I_1}} \over {r_1^2}} = {2.10^{ - 7}}.{5 \over {0,16}} = 6,{25.10^{ - 6}}T;{B_2} = {2.10^{ - 7}}.{{{I_2}} \over {r_2^2}} = {2.10^{ - 7}}.{1 \over {0,16}} = 1,{25.10^{ - 6}}T$

Cảm ứng từ tổng hợp tại M là $\overrightarrow {{B_M}}  = \overrightarrow {{B_1}}  + \overrightarrow {{B_2}}$

Ta có hình vẽ sau

Từ hình vẽ ta thấy B_M = B₁ + B₂ = 7,5.10^-6 T.

+ Hai dây dẫn cách nhau 6 cm, điểm M cách mỗi dây 5 cm  M nằm trên trung trực của ${I_1}{I_2}$ và cách trung điểm O của ${I_1}{I_2}$ một đoạn 4 cm.

+ Cảm ứng từ do các dòng điện gây ra tại I có độ lớn  $B = {2.10^{ - 7}}{I \over r} = {8.10^{ - 6}}\,\,T.$

+ Chiều được xác định theo quy tắc nắm tay phải.

 Từ hình vẽ ta có ${B_M} = 2B\sin \alpha  = {2.8.10^{ - 6}}{4 \over 5} = 12,{8.10^{ - 6}}\,\,T.$

Ta có hình vẽ:

Cảm ứng từ do mỗi dòng điện gây ra là: ${B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\frac{I}{x}$

Từ hình vẽ ta thấy: $B = 2{B_1}\cos \alpha$

Lại có: $\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }}{x} = \frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{x}$$\Rightarrow B = {2.2.10^{ - 7}}I.\frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{{x^2}}}$

Xét hàm số: $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{{x^2}}} = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{a^2}}}{{4{x^4}}}}$

Ta có: ${y^2} = \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{a^2}}}{{4{x^4}}} =  - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 2.\frac{a}{2}.\frac{1}{a}.\frac{1}{{{x^2}}} - {\left( {\frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{a}} \right)^2}$

$\Rightarrow {y^2} =  - {\left( {\frac{a}{2}.\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{a}} \right)^2} + \frac{1}{{{a^2}}}$

Mà ${\left( {\frac{a}{2}.\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{a}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - {\left( {\frac{a}{2}.\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{a}} \right)^2} + \frac{1}{{{a^2}}} \le \frac{1}{{{a^2}}}$

$\Rightarrow {\left( {{y^2}} \right)_{\max }} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow {y_{\max }} = \frac{1}{a}$

Khi $\frac{a}{2}.\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{a} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow x = \frac{a}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right)$

$\Rightarrow {B_{\max }} = {2.2.10^{ - 7}}I.{y_{\max }} = {2.2.10^{ - 7}}.I.\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}}}  = {4.10^{ - 5}}\,\,\left( T \right)$

Hai dòng điện cùng chiều, lực tương tác giữa hai dây dẫn là lực hút

Lực tương tác giữa hai dây dẫn là:

$F = {2.10^{ - 7}}.\dfrac{{{I_1}{I_2}}}{d}.{\rm{l}} = {2.10^{ - 7}}.\dfrac{{2.5}}{{0,1}}.0,2 = {4.10^{ - 6}}\,\,\left( N \right)$