1. Kiến thức cần nhớ
a) Véc tơ trong không gian.
Cho các véc tơ tùy ý →a,→b,→c và k,l∈R.
- Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A,B,C bất kì thì:
→AC=→AB+→BC
→BC=→AC−→AB
- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: →AC=→AB+→AD
- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ ta có →AC′=→AB+→AD+→AA′.
b) Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực
Cho véc tơ →a và một số thực k, tích vô hướng của k và →a kí hiệu là k.→a.
Tính chất:
+) Cùng hướng với →a nếu k>0.
+) Ngược hướng với →a nếu k<0.
+) |k.→a|=|k|.|→a|
- Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm của AB, với điểm O tùy ý thì:
→IA+→IB=→0
→OA+→OB=2→OI
- Quy tắc trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khi đó, với điểm O bất kì thì:
→GA+→GB+→GC=→0
→OA+→OB+→OC=3→OG
- Quy tắc trọng tâm tứ diện: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Khi đó, với điểm O bất kì thì:
→GA+→GB+→GC+→GD=→0
→OA+→OB+→OC+→OD=4→OG
c) Tích vô hướng của hai véc tơ
+) Định nghĩa: →a.→b=|→a|.|→b|.cos(→a,→b).
+) Hệ quả: →a⊥→b⇔→a.→b=0.
+) cos(→a,→b)=→a.→b|→a|.|→b|
+) →a2=→a.→a=|→a|2.
+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ →a,→b. Gọi →a′ là hình chiếu vuông góc của →a trên đường thẳng chứa →b thì: →a.→b=→a′.→b.
+) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k(k≠1), với điểm O tùy ý ta có:
→MA=k→MB;→OM=→OA−k→OB1−k
d) Véc tơ đồng phẳng
Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ →a,→b,→c được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Định lý:
a) Cho →a,→b không cùng phương, ba véc tơ →a,→b,→c đồng phẳng ⇔∃m,n∈R:→c=m.→a+n.→b (với m,n xác định duy nhất.
b) Nếu ba véc tơ →a,→b,→c không đồng phẳng thì mọi véc tơ →x đều được biểu diễn dưới dạng →x=m.→a+n.→b+p.→c với m,n,p xác định duy nhất.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:
Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.
Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có m,n∈R:→c=m.→a+n.→b thì →a,→b,→c đồng phẳng.
Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.
Phương pháp:
Để phân tích một véc tơ →x theo ba véc tơ →a,→b,→c không đồng phẳng, ta tìm các số m,n,p sao cho: →x=m.→a+n.→b+p.→c.
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.
Phương pháp:
- Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng →a,→b,→c sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
- Bước 2: Phân tích →MN=m→a+n→b+p→c.
- Bước 3: Tính độ dài MN dựa vào công thức MN2=|→MN|2=→MN2=(m→a+n→b+p→c)2
Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Phương pháp:
Sử dụng các kết quả:
+) A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng ⇔→DA=m.→DB+n.→DC
+) A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có:
→OD=x→OA+y→OB+z→OC trong đó x+y+z=1
