1. Kiến thức cần nhớ
a) Véc tơ trong không gian.
Cho các véc tơ tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và \(k,l \in R\).
- Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm \(A,B,C\) bất kì thì:
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)
- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
b) Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực
Cho véc tơ \(\overrightarrow a \) và một số thực \(k\), tích vô hướng của \(k\) và \(\overrightarrow a \) kí hiệu là \(k.\overrightarrow a \).
Tính chất:
+) Cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\).
+) Ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
+) \(\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\)
- Quy tắc trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm của \(AB\), với điểm \(O\) tùy ý thì:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \)
- Quy tắc trọng tâm tam giác: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Khi đó, với điểm \(O\) bất kì thì:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \)
- Quy tắc trọng tâm tứ diện: Cho tứ diện \(ABCD\) có trọng tâm \(G\). Khi đó, với điểm \(O\) bất kì thì:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OG} \)
c) Tích vô hướng của hai véc tơ
+) Định nghĩa: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
+) Hệ quả: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
+) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)
+) \({\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).
+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow {a'} \) là hình chiếu vuông góc của \(\overrightarrow a \) trên đường thẳng chứa \(\overrightarrow b \) thì: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow {a'} .\overrightarrow b \).
+) Điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\left( {k \ne 1} \right)\), với điểm \(O\) tùy ý ta có:
\(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {OM} = \dfrac{{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\)
d) Véc tơ đồng phẳng
Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Định lý:
a) Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \exists m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \) (với \(m,n\) xác định duy nhất.
b) Nếu ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng thì mọi véc tơ \(\overrightarrow x \) đều được biểu diễn dưới dạng \(\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c \) với \(m,n,p\) xác định duy nhất.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:
Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.
Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có \(m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.
Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.
Phương pháp:
Để phân tích một véc tơ \(\overrightarrow x \) theo ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng, ta tìm các số \(m,n,p\) sao cho: \(\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c \).
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.
Phương pháp:
- Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
- Bước 2: Phân tích \(\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \).
- Bước 3: Tính độ dài \(MN\) dựa vào công thức \(M{N^2} = {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c } \right)^2}\)
Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Phương pháp:
Sử dụng các kết quả:
+) \(A,B,C,D\) là bốn điểm đồng phẳng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = m.\overrightarrow {DB} + n.\overrightarrow {DC} \)
+) \(A,B,C,D\) là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm \(O\) bất kì ta có:
\(\overrightarrow {OD} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) trong đó \(x + y + z = 1\)
