1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
- Hai điểm \(M,M'\) được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng \(a\) nếu \(a\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MM'\), nếu \(M \in a\) thì \(M' \equiv M\).
- Phép đối xứng qua đường thẳng \(a\) là phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(a\), biến đường thẳng \(a\) thành chính nó.
- Kí hiệu: \({D_a}\) (phép đối xứng trục qua đường thẳng \(a\)).
Như vậy \({D_a}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {HM} = - \overrightarrow {HM'} \) với \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(a\).
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\). Phép đối xứng qua trục \(Ox\) biến điểm \(M\) thành \(M'\) thì \(M'\left( {x; - y} \right)\).
Đối xứng qua trục nào thì giữ nguyên tọa độ đó, còn lại lấy giá trị đối.
c) Tính chất phép đối xứng trục
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng bằng nó.
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
d) Hình có trục đối xứng
Đường thẳng \(d\) được gọi là trục đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng trục \({D_d}\) biến hình \(H\) thành chính nó, tức là \({D_d}\left( H \right) = H\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua đường thẳng cho trước.
Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(M\) cho trước. Tìm điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(d\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \(d\).
+) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(M\) và vuông góc với \(d\).
+) Hình chiếu \(H\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \).
- Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(M'\).
Điểm \(M'\) là ảnh của \(M\) nếu \(H\) là trung điểm của \(MM'\).
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng đã cho qua phép đối xứng qua đường thẳng.
Cho đường thẳng \(d\) và \(\Delta \), viết phương trình đường thẳng \(d'\) đối xứng với \(d\) qua \(\Delta \).
Phương pháp:
- Bước 1: Lấy hai điểm phân biệt bất kì thuộc \(d\), tìm các điểm đối xứng với hai điểm lấy được qua đường thẳng .
- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ảnh.
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn qua đường thẳng.
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\). Viết phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua \(d\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn.
- Bước 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng với tâm qua đường thẳng.
- Bước 3: Viết phương trình đường tròn có tâm vừa tìm được và bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.
