1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
- Cho điểm \(I\). Phép biến hình biến điểm \(I\) thành chính nó và biến mỗi điểm \(M\) khác \(I\) thành điểm \(M'\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(MM'\) được gọi là phép đối xứng tâm \(I\).
- Kí hiệu: \({D_I}\).
Như vậy \({D_I}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IM'} = \overrightarrow 0 \)
- Nếu \({D_I}\left( H \right) = H\) thì \(I\) được gọi là tâm đối xứng của hình \(\left( H \right)\).
b) Tính chất phép đối xứng tâm
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(I\left( {a;b} \right),M\left( {x;y} \right)\), gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2a - x\\y' = 2b - y\end{array} \right.\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm.
Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2a - x\\y' = 2b - y\end{array} \right.\).
Dạng 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm.
Phương pháp:
- Bước 1: Lấy hai điểm bất kì thuộc đường thẳng.
- Bước 2: Tìm ảnh của hai điểm trên qua phép đối xứng tâm.
- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đường thẳng cần tìm.
Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tâm và bán kính đường tròn.
- Bước 2: Tìm ảnh của tâm đường tròn qua phép đối xứng tâm.
- Bước 3: Viết phương trình đường tròn có tâm vừa tìm được ở trên và có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.
