1. Lý thuyết
2. Ví dụ
Tìm và biểu diễn các nghiệm của phương trình sau trên đường tròn lượng giác:
a) sin(2x+π3)=12⇔[2x+π3=π6+k2π2x+π3=5π6+k2π ⇔[x=−π12+kπx=π4+kπ,k∈Z.
Biểu diễn nghiệm trên đường tròn đơn vị:
Ở đó, hai điểm M1,M2 biểu diễn góc x=π4+kπ và hai điểm M3,M4 biểu diễn góc x=−π12+kπ.
b) 2cos2x1−sin2x=0
Điều kiện: 1−sin2x≠0⇔sin2x≠1 ⇔2x≠π2+k2π⇔x≠π4+kπ.
Phương trình ⇔cos2x=0⇔2x=π2+kπ ⇔x=π4+kπ2.
Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:
Các điểm biểu diễn x=π4+kπ là M1,M2 nhưng điều kiện là x≠π4+kπ nên hai điểm này không lấy.
Các điểm biểu diễn x=π4+kπ2 là M1,M2,M3,M4 nhưng do không lấy hai điểm M1,M2 nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M3,M4.
Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua O và ^AOM4=−π4 nên nghiệm của phương trình là x=−π4+kπ,k∈Z.
c) √3cot2x−12cosx+1=0
Điều kiện: 2cosx+1≠0⇔cosx≠−12 ⇔{x≠2π3+k2πx≠−2π3+k2π,k∈Z.
Khi đó phương trình ⇔√3cot2x−1=0⇔cot2x=1√3 ⇔cot2x=cotπ3⇔2x=π3+kπ ⇔x=π6+kπ2,k∈Z.
Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:
Ở đó, điểm M biểu diễn góc x=2π3+k2π và điểm M3 biểu diễn góc x=−2π3+k2π, ta đánh dấu đỏ thể hiện không lấy hai điểm đó (do điều kiện xác định).
Các điểm M1,M2,M3,M4 là các điểm biểu diễn nghiệm x=π6+kπ2, trong đó không lấy điểm M3 do điều kiện xác định.
Do đó, chỉ còn lại hai điểm M1,M2 (với ^AOM1=π6) biểu diễn góc x=π6+kπ và điểm M4 biểu diễn góc x=−π3+k2π (với ^AOM4=−π3).
Vậy phương trình có nghiệm x=π6+kπ hoặc x=−π3+k2π với k∈Z.
