Ôn tập chương 2

I. CÁC QUY TẮC ĐẾM

1. Quy tắc cộng

a) Định nghĩa

Xét một công việc $H$.

Giả sử $H$ có $k$ phương án ${H_1},{H_2},...,{H_k}$ thực hiện công việc $H$. Nếu có ${m_1}$ cách thực hiện phương án  ${H_1}$, có ${m_2}$ cách thực hiện phương án ${H_2}$,.., có ${m_k}$ cách thực hiện phương án ${H_k}$ và mỗi cách thực hiện phương án ${H_i}$ không trùng với bất kì cách thực hiện phương án ${H_j}$ ($i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}$) thì có ${m_1} + {m_2} + ... + {m_k}$ cách thực hiện công việc $H$.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|$

2. Quy tắc nhân

a) Định nghĩa

Giả sử một công việc $H$ bao gồm $k$ công đoạn ${H_1},{H_2},...,{H_k}$. Công đoạn ${H_1}$ có ${m_1}$ cách thực hiện, công đoạn${H_2}$ có ${m_2}$ cách thực hiện,…, công đoạn ${H_k}$ có ${m_k}$ cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo ${m_1}.{m_2}...{m_k}$ cách.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|$.

II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử ($n \ge 1$). Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A.$

Kí hiệu số hoán vị của $n$ phần tử là ${P_n}$.

b) Số hoán vị của tập n phần tử

Định lí: Ta có ${P_n} = n!$

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa: Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử và số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Khi lấy $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$.

b) Số chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Định lí: Ta có $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!}}$.

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa: Cho tập $A$ có $n$ phần tử và số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Mỗi tập con của $A$ có $k$ phần tử được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A.$

b) Số tổ hợp

Kí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

Định lí: Ta có: $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!k!}}$.

III. NHỊ THỨC NEWTON

1. Nhị thức Newton

Định lí: ${(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$

$= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Nhận xét: Trong khai triển Newton ${(a + b)^n}$ có các tính chất sau

* Gồm có $n + 1$ số hạng

* Số mũ của $a$ giảm từ $n$ đến $0$ và số mũ của $b$ tăng từ $0$ đến $n$

* Tổng các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng bằng $n$

* Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k = C_n^{n - k}$

* Số hạng tổng quát : ${T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$

Một số hệ quả

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

* $C_n^k = C_n^{n - k}$

* $C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}$

* $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0$

* $\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} {C_{2n}^{2k + 1}}  = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k}$

* $\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}}  = {(1 + a)^n}$.

IV. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1. Biến cố

Không gian mẫu $\Omega$ : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

Biến cố $A$ : là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra $A$. $A \subset \Omega .$

Biến cố không: $\emptyset$

Biến cố chắc chắn: $\Omega$

Biến cố đối của $A$ : $\overline A = \Omega \backslash A$

Hợp hai biến cố: $A \cup B$

Giao hai biến cố: $A \cap B$  (hoặc $A.B$ )

Hai biến cố xung khắc: $A \cap B{\rm{ }} = \emptyset$

Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.

2. Xác suất

Xác suất của biến cố: $P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$

$0 \le P\left( A \right) \le 1,P\left( \Omega \right) = 1,P\left( \emptyset  \right) = 0$

Qui tắc cộng: Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$

Mở rộng: $A,B$ bất kì: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)-P\left( {A.B} \right)$

$P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$

Qui tắc nhân: Nếu $A,B$ độc lập thì $P\left( {A.{\rm{ }}B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$