I. CÁC QUY TẮC ĐẾM
1. Quy tắc cộng
a) Định nghĩa
Xét một công việc \(H\).
Giả sử \(H\) có \(k\) phương án \({H_1},{H_2},...,{H_k}\) thực hiện công việc \(H\). Nếu có \({m_1}\) cách thực hiện phương án \({H_1}\), có \({m_2}\) cách thực hiện phương án \({H_2}\),.., có \({m_k}\) cách thực hiện phương án \({H_k}\) và mỗi cách thực hiện phương án \({H_i}\) không trùng với bất kì cách thực hiện phương án \({H_j}\) (\(i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}\)) thì có \({m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) cách thực hiện công việc \(H\).
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|\)
2. Quy tắc nhân
a) Định nghĩa
Giả sử một công việc \(H\) bao gồm \(k\) công đoạn \({H_1},{H_2},...,{H_k}\). Công đoạn \({H_1}\) có \({m_1}\) cách thực hiện, công đoạn\({H_2}\) có \({m_2}\) cách thực hiện,…, công đoạn \({H_k}\) có \({m_k}\) cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo \({m_1}.{m_2}...{m_k}\) cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|\).
II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A.$
Kí hiệu số hoán vị của $n$ phần tử là \({P_n}\).
b) Số hoán vị của tập n phần tử
Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của $A$.
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
Định lí: Ta có \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
3. Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập $A$ có $n$ phần tử và số nguyên $k$ với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con của $A$ có $k$ phần tử được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A.$
b) Số tổ hợp
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.
Định lí: Ta có: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
III. NHỊ THỨC NEWTON
1. Nhị thức Newton
Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Nhận xét: Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau
* Gồm có \(n + 1\) số hạng
* Số mũ của $a$ giảm từ $n$ đến $0$ và số mũ của $b$ tăng từ $0$ đến $n$
* Tổng các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng bằng $n$
* Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
* Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)
Một số hệ quả
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
* \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)
* \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)
* \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k}} = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} {C_{2n}^{2k + 1}} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k} \)
* \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}} = {(1 + a)^n}\).
IV. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. Biến cố
Không gian mẫu $\Omega $ : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
Biến cố \(A\) : là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra $A$. $A \subset \Omega .$
Biến cố không: $\emptyset $
Biến cố chắc chắn: $\Omega $
Biến cố đối của $A$ : \(\overline A = \Omega \backslash A\)
Hợp hai biến cố: $A \cup B$
Giao hai biến cố: $A \cap B$ (hoặc $A.B$ )
Hai biến cố xung khắc: $A \cap B{\rm{ }} = \emptyset $
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
Xác suất của biến cố: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
$0 \le P\left( A \right) \le 1,P\left( \Omega \right) = 1,P\left( \emptyset \right) = 0$
Qui tắc cộng: Nếu $A \cap B = \emptyset $ thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$
Mở rộng: $A,B$ bất kì: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)-P\left( {A.B} \right)$
\(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)\)
Qui tắc nhân: Nếu $A,B$ độc lập thì $P\left( {A.{\rm{ }}B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$
