1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Định nghĩa: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm tại \(x = {x_0}\), kí hiệu \(f'\left( {{x_0}} \right)\) nếu giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'\left( {{x_0}} \right)$ tồn tại hữu hạn.
Ở đó, \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).
\(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) là số gia của hàm số.
Ta thường hay sử dụng công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) để tính số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \({x_0}\).
Ví dụ: Tính số gia của hàm số \(y = {x^2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) của biến số tại điểm \({x_0} = - 2\).
Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 = x_0^2 + 2{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - x_0^2 = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x\)
Vậy tại \({x_0} = - 2\) thì \(\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\left( { - 2} \right).\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} - 4\Delta x\).
2. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
- Bước 1: Tính \(f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)
- Bước 2: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0} = - 2\).
- Bước 1: Ta có: \(f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right) = {x^2} - {\left( { - 2} \right)^2} = {x^2} - 4\)
- Bước 2:
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - \left( { - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Vậy \(f'\left( { - 2} \right) = - 4\).
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm \({x_0}\).
Ngược lại, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) thì chưa chắc đã có đạo hàm tại \({x_0}\).
Ví dụ: Xét hàm số \(y = \left| x \right|\) liên tục tại \({x_0} = 0\).
Tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{x}{x} = - 1 \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)
Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\).
Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).
