I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt
2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
\(S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)
3. Định lý kẹp
Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\)
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn đặc biệt
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\) (\(c\) là hằng số)
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty $ nếu \(k\) chẵn và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty $ nếu \(k\) lẻ.
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} =- \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = + \infty \)
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.
2. Giới hạn một bên
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục
- Tại một điểm \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.
- Trong một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\): liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
2. Tính chất có nghiệm của phương trình
- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm.
- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\), đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\). Khi đó với mọi \(T \in \left( {m;M} \right)\) luôn tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = T\).
