I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt
2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
S=u1+u1q+u1q2+...+u1qn−1+...=u11−q(|q|<1)
3. Định lý kẹp
Nếu |un|≤vn và limvn=0 thì limun=0
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn đặc biệt
a) limx→x0x=x0; limx→x0c=c,limx→±∞c=c (c là hằng số)
b) limx→+∞xk=+∞, limx→−∞xk=+∞ nếu k chẵn và limx→−∞xk=−∞ nếu k lẻ.
c) limx→±∞cxk=0
d) limx→0−1x=−∞;limx→0+1x=+∞, limx→0−1|x|=limx→0+1|x|=+∞
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.
2. Giới hạn một bên
limx→x0f(x)=L⇔limx→x−0f(x)=limx→x+0f(x)=L
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục
- Tại một điểm x0 ⇔limx→x0f(x)=f(x0).
- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.
- Trong một đoạn [a;b]: liên tục trên khoảng (a;b) và limx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b).
2. Tính chất có nghiệm của phương trình
- Nếu y=f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một số c∈(a;b) sao cho f(c)=0 hay phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm.
- Nếu y=f(x) liên tục trên [a;b], đặt m=min[a;b]f(x),M=max[a;b]f(x). Khi đó với mọi T∈(m;M) luôn tồn tại ít nhất một số c∈(a;b) sao cho f(c)=T.
