Dãy số

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa

- Hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương ${N^*}$ được gọi là một dãy số. (dãy số vô hạn).

- Dãy số xác định trên tập hợp gồm $m$ số nguyên dương đầu tiên ta cũng gọi là dãy số (dãy số hữu hạn).

Các số hạng trong dãy: ${u_1} = u\left( 1 \right),{u_2} = u\left( 2 \right),...,{u_n} = u\left( n \right),...$

Kí hiệu: Người ta thường kí hiệu dãy số $u = u\left( n \right)$ bởi $\left( {{u_n}} \right)$ và gọi ${u_n}$ là số hạng tổng quát của dãy số đó.

b) Các cách cho một dãy số

- Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

Ví dụ: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{n + 2}}$.

- Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói Cho dãy số bằng quy nạp).

Ví dụ: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2.{u_{n - 1}}$.

c) Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa:

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$

d) Dãy số bị chặn

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho

${u_n} \le M,\forall n \in {N^*}$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho

${u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $M,m$ sao cho

$m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi để tìm số hạng của dãy.

Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Phương pháp:

- Bước 1: Liệt kê các số hạng của dãy số và dự đoán công thức tổng quát.

- Bước 2: Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

Dạng 3: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.

Sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, bị chặn của dãy số để xét.