1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
- Hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \({N^*}\) được gọi là một dãy số. (dãy số vô hạn).
- Dãy số xác định trên tập hợp gồm \(m\) số nguyên dương đầu tiên ta cũng gọi là dãy số (dãy số hữu hạn).
Các số hạng trong dãy: \({u_1} = u\left( 1 \right),{u_2} = u\left( 2 \right),...,{u_n} = u\left( n \right),...\)
Kí hiệu: Người ta thường kí hiệu dãy số \(u = u\left( n \right)\) bởi \(\left( {{u_n}} \right)\) và gọi \({u_n}\) là số hạng tổng quát của dãy số đó.
b) Các cách cho một dãy số
- Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
Ví dụ: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \dfrac{1}{{n + 2}}\).
- Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói Cho dãy số bằng quy nạp).
Ví dụ: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2.{u_{n - 1}}\).
c) Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa:
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
Không phải mọi dãy số đều chỉ tăng hoặc giảm.
Có những dãy số không tăng cũng không giảm như \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\) tức là \( - 3;9; - 27;81;...\)
d) Dãy số bị chặn
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\({u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\({u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho
\(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi để tìm số hạng của dãy.
Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp:
- Bước 1: Liệt kê các số hạng của dãy số và dự đoán công thức tổng quát.
- Bước 2: Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.
Dạng 3: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.
Sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, bị chặn của dãy số để xét.
