1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương \(n\) là đúng với mọi \(n\) mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge 1\) (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với \(n = k + 1\).
2. Dãy số
a. Định nghĩa
Một hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...,\) trong đó \({u_n} = u\left( n \right)\) hoặc viết tắt là \(\left( {{u_n}} \right)\).
Số hạng \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu, \({u_n}\) là số hạng tổng quát (số hạng thứ \(n\)) của dãy số.
b. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có \({u_{n + 1}} = {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
c. Dãy số bị chặn
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M\),\(m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
3. Cấp số cộng
a. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).
Số không đổi \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi \(d = 0\) thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
b. Tính chất
1) Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d\), ta có công thức truy hồi
\({u_{n + 1}} = {u_n} + d,\;n \in {\mathbb{N}^*}.\)
2) Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai \(d > 0\).
3) Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai \(d < 0\).
4) Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định bởi công thức:
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,\;\forall n \ge 2.\)
5) \(d = \dfrac{{{u_p} - {u_q}}}{{p - q}};{u_1} = {u_p} - \left( {p - 1} \right)d\)
6) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\({u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},k \ge 2\)
Tổng quát: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì
\({u_p} = \dfrac{{{u_{p - k}} + {u_{p + k}}}}{2},\;1 \le k < p\).
7) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Khi đó:
\({S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
4. Cấp số nhân
a. Định nghĩa
+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.
+ Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.
+ Khi \(q = 1\) thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
+ Khi \(q = 0\) thì cấp số nhân có dạng \({u_1},0,0,0, \ldots ,0, \ldots \)
+ Khi \({u_1} = 0\) thì với mọi \(q\) cấp số nhân có dạng \(0,0,0,0, \ldots ,0, \ldots \)
b. Tính chất
1) Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi
\({u_{n + 1}} = {u_n}.q,\;n \in {\mathbb{N}^*}\)
2) Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}},\;\forall n \ge 2.\)
3)\({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}},k < m;{q^{m - k}} = \dfrac{{{u_m}}}{{{u_k}}},k < m.\)
4) Trong một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\,\,\,k \ge 2\)
Tổng quát: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì
\(u_m^2 = {u_{m - k}}.{u_{m + k}},k < m\)
5) Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1.\) Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó:
\({S_n} = \dfrac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\) hoặc \({S_n} = \dfrac{{{u_1} - {u_{n + 1}}}}{{1 - q}}\)
