Tìm $a, b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,\,x \ge 0\\ax + b\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)  có đạo hàm tại điểm $x = 0.$

Trước tiên hàm số phải liên tục tại $x = 0.$

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} = 1= f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {ax + b} \right) = b \end{array}\)

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1\)

Khi đó ta có \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\)

Ta có

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{x^2} - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left( {ax + 1} \right) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} a = a\end{array}$

Để hàm số có đạo hàm tại $x = 0$ thì  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \Leftrightarrow a =  - 1$

Vậy \(a =  - 1,b = 1\).