I. Các bất đẳng thức tìm min, max liên quan đến số phức
- Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0\)
- Bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,y > 0\)
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)
II. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\).
- Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\).
- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \(x,y \Rightarrow z\).
Ví dụ: Cho \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\) Tính max\(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(8\)
B. \(10\)
C. \(4\)
D. \(\sqrt {10} \)
Giải
Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\) \(({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)\). Điều kiện đã cho trở thành
+) \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1\) (1)
+) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\)
\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\)
+) \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\(T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)} \)
\( = \sqrt {2.5} = \sqrt {10} \Rightarrow \) \(\max T = \sqrt {10} .\)
Đáp án D.
III. Sử dụng phương pháp hình học để giải các toán tìm min, max liên quan đến số phức
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun
Số phức \(z = x + yi(x,y \in R)\) có điểm biểu diễn là \(M(x,y)\). Mô đun của số phức \(z\) là độ dài đoạn thẳng \(OM\) với \(O\) là gốc tọa độ.
Ví dụ: Cho số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N = {x^2} + {y^2}.\)
A. \(N = 8\)
B. \(N = 10\)
C. \(N = 16\)
D. \(N = 26\)
Giải
Gọi \(M(x,y)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\)
+) \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2} \Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4\)
\( \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \(z\) là một đường thẳng \(x + y - 4 = 0\)
+) \(N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\)
\( \Rightarrow N\)min\( \Leftrightarrow \left| z \right|\)min\( \Leftrightarrow OM\)min \( \Rightarrow OM \bot d:x + y - 4 = 0\)
\( \Rightarrow M(2,2)\) \( \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\)
Đáp án A.
IV. Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ: Cho \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Tìm max\(\left| z \right|.\)
A. \(3\sqrt 5 \)
B. \(5\)
C. \(\sqrt 5 \)
D. \(\sqrt {13} \)
Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: \(\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20} + \sqrt 5 = 3\sqrt 5 \)
\( \Rightarrow \) max\(\left| z \right| = 3\sqrt 5 \)
Đáp án A.
